Dinamica di popolazione

[lucaluca11]

Ciao a tutti! sono uno studente di biologia e sto per laurearmi a febbraio. Mi manca un solo maledetto esame: modelli matematici e statistici”. Sono 25 giorni che ci sbatto la testa ma per me è quasi arabo. Inserisco il testo dell’esame in speranza che qualche anima pia mi possa dare una mano o un consiglio.
Siano x,y le consistenze di due specie biologiche in competizione, le cui velocità di accrescimento sono date dal seguente sistema differenziale:

$\{ (("d"x)/("d"t) = x(9-3x-2y)), (("d"y)/("d"t) = y(6-4x-3y) ):}$

Sapendo che inizialmente (al tempo 0), le consistenze delle due specie sono rispettivamente x=2 e y=5, stabilire l’orbita e le traiettorie del sistema, studiare la natura dei punti critici e darne una interpretazione biologica e stabilire se tale problema è ben posto.
2) modello preda-predatore 3)deduzione e costruzione dell’equazione logistica per l’evoluzione di una popolazione

Ebbene io, pur avendo studiato la parte teorica ( equazioni alle derivate ordinarie, matrici quadrate, determinante e auto valori, equazione logistica ecc) non so da dove iniziare!!! È l’ultimo esame!! Vi prego aiutatemi!!! Grazie ciao

[misanino]

Spiega che cosa significa:
l'orbita e la traiettoria del sistema

[lucaluca11]

allora essendo una capra in matematica sarò molto impreciso. da quello che ho capito trovare l'orbita significa andare a valutare l'evoluzione di una popolazione in funzione dell'altra: la forma delle orbite dipende dagli autovalori del sistema e dal segno degli autovalori riesco a risalire alla natura dei punti critici ho un pò di confusione

[lucaluca11]

non c'è nessuno che può aiutarmi?? grazie

[misanino]

"lucaluca":non c'è nessuno che può aiutarmi?? grazie

Ascolta,posso capire che tu non sia bravo in matematica, ma devi spiegare meglio o studiare meglio cosa intendi per orbita.
Il concetto di orbita in matematica infatti è legata in algebra ai gruppi.
Ma qui cosa significa?

[lucaluca11]

Ciao. Scrivo quello che sono riuscito a fare, sperando in un vostro aiuto.

Prima ho valutato quando crescono le due popolazioni
La pop. X cresce per y< 9/2- 3/2 x
La pop. y cresce per y< 2-4/3 x

Ho trovato i punti critici:
O=(0;0), E1=(0;2), E2=(3;0)

Ho determinato il punto di incontro tra le 2 rette:
E3=(15;-18)

Per approssimare linearmente il sistema differenziale nell'intorno di ciascun punto critico, ho calcolato la matrice Jacobiana:
J (0,0)= Gli autovalori sono 9 e 6 e dunque O è un nodo repulsivo

J (0,2)= Gli autovalori sono 5 e -6 e dunque E1 è un punto di sella

J (3,0)= Gli autovalori sono -9 e -6 e dunque E2 è un nodo attrattivo

J (3,0)= Gli autovalori sono (9+¡Ì1161)/2 e (9-¡Ì1161)/2 e dunque E2 è un punto di sella.

Ok. A questo punto mi sono fermato!! Chi mi aiuta con la restante parte del problema? Dopodomani ho l¡¯esame!! Help please! Grazie in anticipo