Dimostrazioni Serie

[Dorian1]

Buonasera a tutti!
Ho trovato questo esercizio...

Si mostri che, data una successione $(a_n)_(n in NN) C [0,+oo [$:

(a) $sum^(+oo)_n a_n$ converge $<=>$ (b)$sum^(+oo)_n sin (a_n)$ converge;

(a) $=>$ (b) $sum^(+oo)_n a_n$ converge, dunque:

$lim_(n->+oo) a_n = 0$ ed anche $lim_(n->+oo) sin(a_n) = 0$

Il criterio del confronto asintotico ci permette di concludere, in quanto:

$lim_(n->+oo) sin(a_n)/a_n = 1$ (limite notevole) e dunque pure (b) converge;

(b) $=>$ (a) Mi lascia molto perplesso... Si consideri, ad esempio:

$a_n:= (pi - (1/n^2))$, abbiamo che, come noto dalla trigonometria:

$sin (pi - (1/n^2)) = sin (1/n^2)$ e dunque $sum^(+oo)_n sin (a_n)$ converge. Tuttavia:

$lim_(n->+oo) a_n = pi$ e quindi $sum^(+oo)_n a_n$ diverge (è a termini positivi...)

Qualcuno prova a chiarirmi le idee?!?!?!
Grazie

[pat871]

Ma non capisco la notazione:
$sum_(n=0)^(infty) n a_n$ converge se e solo se $sum_(n=0)^(infty) n sin(a_n)$ converge?

[alberto.chiarini]

secondo me il viceversa non vale, il controesempio che hai trovato ne è la prova..non è che ti sei dimenticato qualche ipotesi?

Immagino che la serie sia $sum_(n=0)^(+oo)a_n$

[Dorian1]

No, il testo dell'esercizio dice questo...

[Dorian1]

"pat87":Ma non capisco la notazione:
$sum_(n=0)^(infty) n a_n$ converge se e solo se $sum_(n=0)^(infty) n sin(a_n)$ converge?

Se quella $n$ è un errore di battitura, hai capito bene...

[Dorian1]

"Dorian":[quote="pat87"]Ma non capisco la notazione:
$sum_(n=0)^(infty) n a_n$ converge se e solo se $sum_(n=0)^(infty) n sin(a_n)$ converge?

Se quella $n$ è un errore di battitura, hai capito bene...[/quote]

Il fatto che $n$ al pedice sia sola, sta solo a significare che, nel nostro discorso, non era fondamentale precisare un indice iniziale per la serie...

[alberto.chiarini]

chiaro, il fatto è che nel testo iniziale hai fatto un errore di battitura e Pat voleva un chiarimento, hai scritto $sum^(oo)_na_n$ anzichè $sum_n^(oo)a_n$
tutto qui..cmq secondo me non funziona quella dimostrazione

[Dorian1]

"Albe":chiaro, il fatto è che nel testo iniziale hai fatto un errore di battitura e Pat voleva un chiarimento, hai scritto $sum^(oo)_na_n$ anzichè $sum_n^(oo)a_n$
tutto qui..cmq secondo me non funziona quella dimostrazione

Quale, (a) $=>$ (b) ?

Sentiamo dove non ti convince... In effetti la fonte sono io, non è che sia un marchio di garanzia!

[alberto.chiarini]

(a) $=>$ (b) funziona, al contrario (b) $=>$ (a) sembra non funzionare appunto perchè la negazione di (a) non implica la negazione di (b)..Infatti può benissimo essere $a_n=(\pi-1/(n^2))$, e la serie associata sappiamo bene che non converge essendo $lim_(n->oo)a_n=\pi$; tuttavia questo non implica che $sum_n^oo\sin(a_n)$ non converga infatti $sin(\pi-1/(n^2))=\sin(1/n^2)$ ma quest'ultima è asintotica a $1/(n^2)$ e dunque converge la serie $sum_n^oo\sin(a_n)$.

[Dorian1]

"Albe":(a) $=>$ (b) funziona, al contrario (b) $=>$ (a) sembra non funzionare appunto perchè la negazione di (a) non implica la negazione di (b)..Infatti può benissimo essere $a_n=(\pi-1/(n^2))$, e la serie associata sappiamo bene che non converge essendo $lim_(n->oo)a_n=\pi$; tuttavia questo non implica che $sum_n^oo\sin(a_n)$ non converga infatti $sin(\pi-1/(n^2))=\sin(1/n^2)$ ma quest'ultima è asintotica a $1/(n^2)$ e dunque converge la serie $sum_n^oo\sin(a_n)$.

Allora siamo d'accordo... Devo quindi ipotizzare che l'errore stia nel testo dell' esercizio.