Dimostrazioni relative alle proprieta' sui coeff. binomiali

[Andrewnow]

Buonasera a tutti! Premetto di essere un nuovo iscritto e che inoltre è la prima volta che provo a scrivere all'interno di un forum.
Sono uno studente universitario di ingegneria, sto studiando analisi matematica I.Lo studio e' proceduto bene fino a quando non mi sono imbattuto nella dimostrazione di due identita' riguardanti le proprietà sui coefficienti binomiali.

Se non ricordo male intanto : k! = k(k-1)! e inoltre (n-k)= (n-k)(n-k-1)!
inoltre (n su k)=$ (n!)/(k!(n-k)!) $ con k compreso tra 0 ed n

dopo questa premessa avevo provato a fare la dimostrazione passo a passo di queste due identita' ma senza riuscire ad arrivare alla conclusione finale .

1) $ ((n+1)/k)=(n/(k-1)) $+(n su k)

2) (n su k)= $ ((n-1)/(k-1))+((n-1)/k) $

ho anche cercato su alcuni libri ma il procedimento dimostrativo lo danno per assodato .
Ce qualche persona gentile e disponibile che mi puo' postare le dimostrazioni passo a passo ? Grazie a tutti quelli che potranno aiutarmi....
Anche oggi ho provato ripetutamente ma mi blocco e la maggior parte dei testi riporta solo passaggi parziali mentre io avrei bisogno di capirle in maniera completa...grazie ancora

[lucillina1]

Ti aiuto sulla prima. Scrivi il termine a destra dell'uguaglianza utilizzando la definizione del coefficiente binomiale e poi le prime proprietà che hai ricordato:
\[
\frac{n!} {(k-1 )! (n-k+1) ( n-k)!}+\frac{ n!}{ k ( k-1)! (n-k)! }\]
ora passi a denominatore comune:
\[
\frac{(k )n! (n-k+1 )n!}{
k (k-1)!( n-k+1) (n-k)!}\]

ora ti basta semplificare al numeratore (ti rimane $(n+1)n! = (n+1)!$) e puoi riconoscere il termine a sinistra dell'uguaglianza che volevi ottenere!

Per la seconda uguaglianza, ti consiglio di procedere allo stesso modo!

[Demostene92]

Per questi esercizi in generale non ti resta che metterti li e verificare che sia valida l'identità.
Per quanto riguarda la seconda, hai che:

$((n-1)/(k-1))+((n-1)/k)=[(n-1)!]/[(k-1)!(n-k)!]+[(n-1)!]/[k!(n-k-1)!]=$

$=[(n-1)!]/[(n-k)(n-k-1)!(k-1)!]+[(n-1)!]/[k(k-1)!(n-k-1)!]=$

$=[k(n-1)!+(n-k)(n-1)!]/[k(n-k)(k-1)!(n-k-1)!]=[n(n-1)!]/[k(n-k)(k-1)!(n-k-1)!]=$

$=[n(n-1)!]/[k!(n-k)!]=(n!)/[k!(n-k)!]=(n/k)$.

[Andrewnow]

Demostene92 e lucillina intanto grazie per la tua disponibilita' e tempestivita' nella risposta magari riuscite pure a chiarirmi questo dubbio ? il primo passaggio fatto da lucillina nella prima proprieta' non mi e' chiaro in quanto lei ha scritto $ (n!) /((k-1)!(n-k+1)(n-k)!) $ . Non riesco sinceramente a capire quel famoso (n-k)! a denominatore ( nel primo termine )
se io considero la formula generale (n su k)=$ (n!)/((k!)(n-k)!) $ allora il primo passaggio dovrebbe essere :
$ (n!)/((k-1)!(n-k+1)!)$ + $ (n!)/(k(k-1)!(n-k)!)$

scusate forse sono io che non riesco ad afferrare bene questo argomento! help me per il resto eseguito da Demostene92 non ho avuto dubbi....

[lucillina1]

"Andrewnow":Demostene92 e lucillina intanto grazie per la tua disponibilita' e tempestivita' nella risposta magari riuscite pure a chiarirmi questo dubbio ? il primo passaggio fatto da lucillina nella prima proprieta' non mi e' chiaro in quanto lei ha scritto $ (n!) /((k-1)!(n-k+1)(n-k)!) $ . Non riesco sinceramente a capire quel famoso (n-k)! a denominatore ( nel primo termine )
se io considero la formula generale (n su k)=$ (n!)/((k!)(n-k)!) $ allora il primo passaggio dovrebbe essere :
$ (n!)/((k-1)!(n-k+1)!)$ + $ (n!)/(k(k-1)!(n-k)!)$

scusate forse sono io che non riesco ad afferrare bene questo argomento! help me per il resto eseguito da Demostene92 non ho avuto dubbi....

Vale:
\[
(n-k+1)!= (n-k+1)(n-k)! \]

Sto applicando che:
\[ n!= n (n-1)! \]

P.s Per rispondere al tuo messaggio privato:
Tu sai che:
\[ m!= m (m-1)! \]
Ora prendi $m=n-k+1$, dunque $m-1=n-k$ e ottieni:
\[
(n-k+1)!= (n-k+1)(n-k)!
\]

[Andrewnow]

adesso ho capito finalmente il tuo ragionamento...sinceramente non era cosi' immediato arrivarci ( parlo per me che non ho mai fatto queste cose) ...

dimostrazione risolta ..grazie lucillina....