Dimostrazioni per induzione
Premettendo che so come funzionano le dimostrazioni per induzione, tuttavia non riesco a capire la soluzione di due esercizi fatti dal professore, che tra l'altro è in ferie e non fa ricevimento fino a gennaio.
Vi posto intanto il primo:
Dimostrare che per ogni numero naturale n si ha
$ 2*(sum_(i = 0)^(n)3^i)=3^(n+1) - 1 $
La soluzione che da è la seguente, tralasciando il caso per n=0, che è semplice e l'ho capito.
Supponiamo che l'uguaglianza sia vera n e dimostriamola per n+1. Vogliamo quindi provare che
$ 2*(sum_(i = 0)^(n+1)3^i)=3^(n+2) - 1 $ e fin qui tutto ok, adesso inizia la parte che non capisco.
Si ha in effetti
$ 2*(sum_(i = 0)^(n+1)3^i)=2*(sum_(i = 0)^(n)3^i)+2*3^(n+1)=$ (applicando l'ipotesi di induzione) $ =3^(n+1)-1+2*3^(n+1)=3*3^(n+1)-1=3^(n+2)-1 $
Non capisco dove tira fuori, e come fa, quel $2*(sum_(i = 0)^(n)3^i)+2*3^(n+1)$
Vi posto intanto il primo:
Dimostrare che per ogni numero naturale n si ha
$ 2*(sum_(i = 0)^(n)3^i)=3^(n+1) - 1 $
La soluzione che da è la seguente, tralasciando il caso per n=0, che è semplice e l'ho capito.
Supponiamo che l'uguaglianza sia vera n e dimostriamola per n+1. Vogliamo quindi provare che
$ 2*(sum_(i = 0)^(n+1)3^i)=3^(n+2) - 1 $ e fin qui tutto ok, adesso inizia la parte che non capisco.
Si ha in effetti
$ 2*(sum_(i = 0)^(n+1)3^i)=2*(sum_(i = 0)^(n)3^i)+2*3^(n+1)=$ (applicando l'ipotesi di induzione) $ =3^(n+1)-1+2*3^(n+1)=3*3^(n+1)-1=3^(n+2)-1 $
Non capisco dove tira fuori, e come fa, quel $2*(sum_(i = 0)^(n)3^i)+2*3^(n+1)$
Risposte
Estrai l'ultimo indice (l'indice $n+1$) della sommatoria e lo isoli.
Lo vedi meglio se te lo scrivo così?
$2\cdot \sum_(i=0)^(n+1) 3^i = 2\cdot (\sum_(i=0)^n 3^i + 3^(n+1))$
Lo vedi meglio se te lo scrivo così?
$2\cdot \sum_(i=0)^(n+1) 3^i = 2\cdot (\sum_(i=0)^n 3^i + 3^(n+1))$
mica tanto sai...
Allora, guarda, te la "srotolo" (passami il termine 
) la somma.
$\sum_(i=0)^(n+1) 3^i =3^0 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^(n-2) + 3^(n-1) + 3^n + 3^(n+1)$.
Poi la "vedo" così
$3^0 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^(n-2) + 3^(n-1) + 3^n + 3^(n+1)=$
$=(3^0 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^(n-2) + 3^(n-1) + 3^n )+ 3^(n+1)$
Infine riapplico la "simbologia" di sommatoria "al contrario" ottenendo
$(3^0 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^(n-2) + 3^(n-1) + 3^n )+ 3^(n+1) = \sum_(i=0)^n 3^i + 3^(n+1)$.
E' una delle proprietà delle sommatorie che deriva proprio dallo "spezzare" le addizioni e dal fatto che l'addizione stessa gode della proprietà associativa e commutativa. In fondo la sommatoria cos'è? Un metodo "elegante" per indicare una somma tra termini, no?
La proprietà è la seguente:
$\sum_(i=0)^m a_i =\sum_(i=0)^n a_i + \sum_(i=n+1)^m a_i$ con $1\le n\le m$.
Nel tuo caso $m=n+1$ e si tratta di un solo termine "in più".
Spero che sia meglio così, perché non mi viene altro .
) la somma.$\sum_(i=0)^(n+1) 3^i =3^0 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^(n-2) + 3^(n-1) + 3^n + 3^(n+1)$.
Poi la "vedo" così
$3^0 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^(n-2) + 3^(n-1) + 3^n + 3^(n+1)=$
$=(3^0 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^(n-2) + 3^(n-1) + 3^n )+ 3^(n+1)$
Infine riapplico la "simbologia" di sommatoria "al contrario" ottenendo
$(3^0 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^(n-2) + 3^(n-1) + 3^n )+ 3^(n+1) = \sum_(i=0)^n 3^i + 3^(n+1)$.
E' una delle proprietà delle sommatorie che deriva proprio dallo "spezzare" le addizioni e dal fatto che l'addizione stessa gode della proprietà associativa e commutativa. In fondo la sommatoria cos'è? Un metodo "elegante" per indicare una somma tra termini, no?
La proprietà è la seguente:
$\sum_(i=0)^m a_i =\sum_(i=0)^n a_i + \sum_(i=n+1)^m a_i$ con $1\le n\le m$.
Nel tuo caso $m=n+1$ e si tratta di un solo termine "in più".
Spero che sia meglio così, perché non mi viene altro
.
AHAHAHHA sai che avevo letto ti "sbrodo" e infatti mi dicevo...che termine strano, non lo avevo mai sentito, poi rileggendo bene ho visto "srotolo" ....sono fuso!
Comunque apparte le cavolate grazie mille davvero per le spiegazioni, adesso è tutto molto chiaro, e ho capito la dimostrazione.
Grazie mille ancora.
....sono fuso!Comunque apparte le cavolate grazie mille davvero per le spiegazioni, adesso è tutto molto chiaro, e ho capito la dimostrazione.
Grazie mille ancora.
Mi è sorto un altro ennesimo dubbio provando a svolgere ancora questa dimostrazione. Ma a questo passaggio come ci si arriva?
$=3^(n+1)-1+2*3^(n+1)=3*3^(n+1)-1$
$=3^(n+1)-1+2*3^(n+1)=3*3^(n+1)-1$
un aiutino? 
"bugger":
Ma a questo passaggio come ci si arriva?
$=3^(n+1)-1+2*3^(n+1)=3*3^(n+1)-1$
Vediamo se ti ci faccio arrivare così: "poni $3^(n+1) = t$" o una cosa simile (se non ti piace la $t$, va bene la $k$ o quello che ti pare).
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