Dimostrazioni con il principio di induzione

[wolfinthewild]

Potete dirmi se ho afferrato il principio di induzione nel seguente esercizio, probabilmente è molto banale ma sto ricominciando da zero.
ipotesi
$1^3+2^3+...+n^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$
tesi
$1^3+2^3+...+n^3 = (\frac{(n+1)(n+2)}{2})^2$
Ho sommato $(n+1)^3$ all'ipotesi ottenendo:
$1^3+2^3+...+n^3 + (n+1)^3= (\frac{n(n+1)}{2})^2+(n+1)^3 = \frac{n^2(n+1)^2+4(n+1)^3}{4} = \frac{(n+1)^2*(n^2 + 4n + 4)}{4} = \frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$

altro esempio
ipotesi: $n! > 2^n$
tesi: $(n+1)! > 2^(n+1)$
svolgimento
$(n+1)! = n! (n+1) > (n+1)*2^n$
per ipotesi
$(n+1)*2^n > 2^(n+1)$
per n > 1
poi facendo alcune prove controllo che è vero per n > 4

ultimo esempio
i: $(1+p)^n >= 1+np$
t: $(1+p)^(n+1) >= 1+(n+1)p$

svolgimento
$(1+p)^n(1+p) >=(1+np) (1+p) = 1+np^2 + np +p >= 1 + np +p = 1+(n+1)p$

[Black Magic]

Il primo e il terzo sono corretti. Occhio al secondo: è vero solo per un certo $n_0$ in poi.