Dimostrazioni con definizione di limite

[hakzc]

Ragazzi non riesco a dimostrare queste due proprietà dei limiti D:, non mi viene ragionare in astratto

1)
Sia data $f: A\to RR$ e sia x0 un punto di accumulazione di A. Supponiamo che

$\lim_{x \to \x0}f(x)=l$ appartenente ad R
Sia
$g(x) := f(x) + a$ con a appartenente ad R
Dimostrare che:
$\lim_{x \to \x0}g(x)=l+a$

2) stessa cosa ma al posto di a, vi è un fattore moltiplicativo M

A rigor di logica le proprietà sono ovvie, ma non riesco a trovare un metodo per dimostrarle solo utilizzando la definizione di limite (con gli intorni V e U)
Vi sarei grato se potreste darmi una mano, dato che sono ore che ci sbatto la testa cercando di capire, inutilmente

[killing_buddha]

Sai che per ogni intorno $U$ di $l$ esiste un intorno $V$ di $x_0$ tale che \(f(V\setminus\{x_0\})\subseteq U\); devi dimostrare che per ogni intorno \(U'\) di $l+a$ esiste un intorno $V'$ tale che \(g(V\setminus\{x_0\})=f(V\setminus\{x_0\})+a\subseteq U'\). Del resto, \(U'-a = \{u-a\mid u\in U'\}\) è un intorno di $l$... ma allora esiste...

[hakzc]

"killing_buddha":Sai che per ogni intorno $U$ di $l$ esiste un intorno $V$ di $x_0$ tale che \(f(V\setminus\{x_0\})\subseteq U\); devi dimostrare che per ogni intorno \(U'\) di $l+a$ esiste un intorno $V'$ tale che \(g(V\setminus\{x_0\})=f(V\setminus\{x_0\})+a\subseteq U'\). Del resto, \(U'-a = \{u-a\mid u\in U'\}\) è un intorno di $l$... ma allora esiste...

Fino a qua ci sono.. ma non riesco a continuare in autonomia. Potresti concludere la dimostrazione del 1 punto?

[killing_buddha]

quanta pazienza.

Sai che per ogni intorno $U$ di $l$ esiste un intorno $V$ di $x_0$ tale che \(f(V\setminus\{x_0\})\subseteq U\); devi dimostrare che per ogni intorno \(U'\) di $l+a$ esiste un intorno $V'$ tale che \(g(V\setminus\{x_0\})=f(V\setminus\{x_0\})+a\subseteq U'\). Del resto, \(U'-a = \{u-a\mid u\in U'\}\) è un intorno di $l$, allora esiste \(V'\) intorno di $x_0$ tale che \(f(V'\setminus\{x_0\})\subseteq U'-a\). Del resto ora $V'$ è anche tale che \(g(V'\setminus\{x_0\})\subseteq U'\), dimostrando così che \(\lim_{x_0} (f+a) = (\lim_{x_0} f)+a\).

Essere ancora più espliciti è un'offesa alla decenza, oltre che un'occasione persa per imparare quelle quattro acche di analisi matematica che un giorno potrebbero renderti l'ingegnere che progetterà il ponte sullo stretto.

[Camillo]

Bastasse conoscere quattro rudimenti di analisi per saper progettare il ponte sullo stretto ( ammesso che mai lo si farà ) .