Dimostrazioni CNS campi vettoriali

[Demostene92]

Buongiorno a tutti vi scrivo per chiedervi un chiarimento circa due teoremi, nella cui dimostrazione non mi ritrovo.

1) Condizione necessaria e sufficiente affinché un campo vettoriale $F$, definito in $A$ semplicemente connesso e $C^1(A)$ sia irrotazionale è che la circuitazione del campo $F$ lungo una qualunque curva chiusa regolare a tratti, interamente contenuta in $A$, sia nulla.

Sulla mia fonte, questo teorema è cronologicamente esposto dopo il Teorema di Stokes, ma non viene riportata la condizione necessaria, bensì solo quella sufficiente, di cui riporto brevemente la dimostrazione.

Sia $\bbx_0 \in A$ e sia $B_r(\bbx_0)$ un intorno sferico, anch'esso interamente contenuto in $A$. Sia $\pi$ un piano passante per $\bbx_0$, tale che l'intersezione dell'intorno sferico generi sul piano una curva chiusa, regolare a tratti e orientata $\gamma$. In altri termini, sia $\gamma$ il bordo di $B_r(\bbx_0)$ su $\pi$. Consideriamo la relazione derivante dal Teorema di Stokes:

$\oint_{\gamma}\bbF*d\bbx=\int_{S}rot(\bbF)*\bbndS$

Applicando il teorema della media integrale a secondo membro:

$\int_{S}rot(\bbF)*\bbndS->1/[mis(S)]\int_{S}rot(\bbF)*\bbndS=rot(\bbF*\bbn)(\bar\bbx)$

Dall'ipotesi di circuitazione nulla e dal teorema di Stokes:

$rot(\bbF*\bbn)(\bar\bbx)=[\oint_{\gamma}\bbF*d\bbx]/[mis(S)]=0$

Prendendo ora il limite per $r\to0$: $\lim_{r \to 0}rot(\bbF*\bbn)(\bar\bbx)=rot(\bbF*\bbn)(\bar\bbx_0)=0$, cioè la proiezione del rotore lungo una qualunque direzione è nulla.

Mi chiedevo però quale fosse la parte necessaria. A intuito direi che discerne direttamente dal teorema di Stokes, in quanto se $F$ deve essere irrotazionale, allora deve essere:

$\oint_{\gamma}\bbF*d\bbx=\int_{S}rot(\bbF)*\bbndS=0->\oint_{\gamma}\bbF*d\bbx=0, \AA \gamma \in A$,

ma non ne sono certo, attendo conferme!

Il secondo teorema è il seguente:

2) Condizione necessaria e sufficiente affinché un campo vettoriale $F$, definito in $A$, sia conservativo è che, scelti due punti $P_1$ e $P_2$, l'integrale di linea della forma differenziale del campo tra i due punti, non dipenda dalla particolare curva di integrazione.

Anche qui, non è presente la condizione necessaria.
A rigore di logica direi che questa potrebbe essere quella giusta, attendo nuovamente conferme .

Supponiamo $F$ conservativo in $A \sube \RR^3$, ovvero che esista una funzione scalare potenziale $U$ tale che $\bbF(\bbx)=\nablaU(\bbx)$. Ne segue che, scelti due punti $P_1$ e $P_2$ appartenenti all'insieme di definizione e scelta una qualunque curva regolare $\gamma$, tale che:

$\gamma:{(x=\hatx(t)), (y=\haty(t)), (z=\hatz(t)):}$

contenuta in $A$ risulta:

$\int_{\gamma}F_1dx+F_2dy+F_3dz=\int_{\gamma}[(\delU)/(\delx)]dx+[(\delU)/(\dely)]dy+[(\delU)/(\delz)]dz=$

$=\int_{a}^(b)[(\delU)/(\delx)]\hatx'+[(\delU)/(\dely)]\haty'+[(\delU)/(\delz)]\hatz'dt=$

$=\int_{a}^(b)[(\del)/(\delt)]U(\hatx(t), \haty(t), \hatz(t))dt=$

$=\int_{a}^(b)d/dt[U(\hatx(t), \haty(t), \hatz(t))]dt=U(\bbx_2)-U(\bbx_1)$,

dove $\bbx_2=P_2->b$ e $\bbx_1=P_1->a$.

Grazie a tutti di cuore.

[Rigel1]

Se hai una curva chiusa \(\gamma\) lungo la quale la circuitazione sia non nulla, il campo non può essere conservativo. Se infatti il campo è conservativo si ha
\[
\int_{\gamma} F \, ds = U(P) - U(P) = 0,
\]
dove \(U\) è un potenziale e \(P\) è il punto iniziale (e finale) della curva.

[Demostene92]

Si, questo è chiaro. Di conseguenza le mie supposizioni posso considerarle corrette? Grazie ancora Rigel.

[Rigel1]

Sì; avere circuitazioni nulle o integrali di linea dipendenti solo dai punti iniziale e finale sono condizioni equivalenti.