Dimostrazioni assiomi numeri reali
Salve,
ho appena iniziato a prepararmi per l'esame di analisi matematica 1 (ingegneria Pisa) e non potrò frequentare le lezioni perché sono lavoratore.
Ho acquistato il volume consigliato nel programma "analisi matematica uno" di Marcellini Sbordone (Liguori editore) e sto leggendo le proprietà dei numeri reali (assiomi) che sono divise in 3 gruppi: le proprietà relative alle operazioni, ordinamento e l'assioma di completezza.
Mi chiedo se devo imparare a memoria le dimostrazioni relative alle proprietà elementari degli assiomi dei numeri reali, come ad esempio queste:
ho appena iniziato a prepararmi per l'esame di analisi matematica 1 (ingegneria Pisa) e non potrò frequentare le lezioni perché sono lavoratore.
Ho acquistato il volume consigliato nel programma "analisi matematica uno" di Marcellini Sbordone (Liguori editore) e sto leggendo le proprietà dei numeri reali (assiomi) che sono divise in 3 gruppi: le proprietà relative alle operazioni, ordinamento e l'assioma di completezza.
Mi chiedo se devo imparare a memoria le dimostrazioni relative alle proprietà elementari degli assiomi dei numeri reali, come ad esempio queste:
- [*:y6bwndch]l'opposto di un numero reale è unico[/*:m:y6bwndch]
[*:y6bwndch]l'inverso di un numero reale non nullo è unico[/*:m:y6bwndch]
[*:y6bwndch]il prodotto ab è nullo se e soltanto se almeno uno dei due fattori è nullo[/*:m:y6bwndch]
[*:y6bwndch]per ogni reale 'a' vale la proprietà -(-a)=a[/*:m:y6bwndch]
[*:y6bwndch]per ogni coppia di numeri reali a,b risulta (-a)b = -ab[/*:m:y6bwndch][/list:u:y6bwndch]
La vedo dura saperle dimostrare tutte ! Un conto conoscere l'assioma un conto dimostrarlo. Che dite?
Grazie
Risposte
Innanzitutto, non stai dimostrando alcun assioma... Quelli che citi sono semplicissimi teoremi che discendono dagli assiomi in maniera immediata.
All'inizio è normale che queste cose ti sembrino "difficili" (da ricordare, o da imparare)... Ma devi capire che più studi più ti sembreranno banali (come in effetti sono), dato che incontrerai più in là nel corso degli studi vari teoremi davvero difficili.
All'inizio è normale che queste cose ti sembrino "difficili" (da ricordare, o da imparare)... Ma devi capire che più studi più ti sembreranno banali (come in effetti sono), dato che incontrerai più in là nel corso degli studi vari teoremi davvero difficili.
L'unico che per dimostrarlo bisogna sapere qualcosa in più, è il terzo. Basta ricordare la definizione di dominio di integrità.
"gugo82":
Innanzitutto, non stai dimostrando alcun assioma... Quelli che citi sono semplicissimi teoremi che discendono dagli assiomi in maniera immediata.
All'inizio è normale che queste cose ti sembrino "difficili" (da ricordare, o da imparare)... Ma devi capire che più studi più ti sembreranno banali (come in effetti sono), dato che incontrerai più in là nel corso degli studi vari teoremi davvero difficili.
Nell'immagine si vedono elencati i primi 3 gruppi degli assiomi principali dei numeri reali.
L'ultimo invece al punto 3.2 mostra un esempio di quelli dove c'e' la dimostrazione utilizzando i precedenti ma a mio avviso è impegnativo ricordarla e soprattutto se si devono sapere anche le altre che seguono.
Cosa ne pensate?
"anto_zoolander":
L'unico che per dimostrarlo bisogna sapere qualcosa in più, è il terzo. Basta ricordare la definizione di dominio di integrità.
Sono al capitolo uno e di integrali ancora non se ne parla
I domini di integrità non c'entrano con gli integrali, sono degli insiemi dotati di un'operazione $*$ in cui vale, appunto, la legge di annullamento del prodotto:
$a*b=0 <=> a=0 vv b=0$
Non è un dominio di integrità l'insieme dei numeri di una normale calcolatrice con l'usuale prodotto, infatti $10^(-50)*10^(-50)$ sappiamo che fa $10^(-100)$, ma se lo calcoli con una normale calcolatrice ti dà $0$, quindi calcolato a mano sui reali, veramente sarebbe nel suo sottoinsieme dei razionali, ma come esempio va bene lo stesso $10^(-50)*10^(-50)=10^(-100)$
calcolato con la calcolatrice $10^(-50)*10^(-50)=0$
$a*b=0 <=> a=0 vv b=0$
Non è un dominio di integrità l'insieme dei numeri di una normale calcolatrice con l'usuale prodotto, infatti $10^(-50)*10^(-50)$ sappiamo che fa $10^(-100)$, ma se lo calcoli con una normale calcolatrice ti dà $0$, quindi calcolato a mano sui reali, veramente sarebbe nel suo sottoinsieme dei razionali, ma come esempio va bene lo stesso $10^(-50)*10^(-50)=10^(-100)$
calcolato con la calcolatrice $10^(-50)*10^(-50)=0$
"@melia":
I domini di integrità non c'entrano con gli integrali, sono degli insiemi dotati di un'operazione $*$ in cui vale, appunto, la legge di annullamento del prodotto:
$a*b=0 <=> a=0 vv b=0$
Non è un dominio di integrità l'insieme dei numeri di una normale calcolatrice con l'usuale prodotto, infatti $10^(-50)*10^(-50)$ sappiamo che fa $10^(-100)$, ma se lo calcoli con una normale calcolatrice ti dà $0$, quindi calcolato a mano sui reali, veramente sarebbe nel suo sottoinsieme dei razionali, ma come esempio va bene lo stesso $10^(-50)*10^(-50)=10^(-100)$
calcolato con la calcolatrice $10^(-50)*10^(-50)=0$
Quindi in sostanza le dimostrazioni degli assiomi derivati dai principali prima citati è necessario saperle?
Trattasi di esame analisi 1 ingegneria.
Grazie
Bisogna sapere gli assiomi, le dimostrazioni non serve impararle, sono davvero banali.
Per esempio il primo esercizio si fa così:
Supponiamo si abbia \(a + a' = 0\). Allora \(a' = a' + 0 = a' + a + (-a) = 0 + (-a) = -a\) dove ho usato l'assioma (2.4), poi dall'assioma (2.5), seguito dall'ipotesi (e l'assioma 2.2) ed infine di nuovo l'assioma (2.4).
Ti renderai conto che il secondo esercizio è molto simile.
Il terzo esercizio è un po' più macchinoso, devi infatti dimostrare due cose:
Per esempio il primo esercizio si fa così:
Supponiamo si abbia \(a + a' = 0\). Allora \(a' = a' + 0 = a' + a + (-a) = 0 + (-a) = -a\) dove ho usato l'assioma (2.4), poi dall'assioma (2.5), seguito dall'ipotesi (e l'assioma 2.2) ed infine di nuovo l'assioma (2.4).
Ti renderai conto che il secondo esercizio è molto simile.
Il terzo esercizio è un po' più macchinoso, devi infatti dimostrare due cose:
- [*:3e3w9y0p] Il prodotto per 0 è sempre 0 (hint: usa la proprietà distributiva e l'assioma 2.4);[/*:m:3e3w9y0p]
[*:3e3w9y0p] \(\displaystyle ab \neq 0 \) se sono entrambi non nulli.[/*:m:3e3w9y0p][/list:u:3e3w9y0p]
Il quarto esercizio non è altro che l'applicazione dell'unicità dell'opposto.
L'ultimo esercizio è una applicazione del terzo e della proprietà distributiva.
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