Dimostrazione zeri in $f'(x)$
Buona sera a tutti.
Ho notato che in un paio di esercizi di preparazione all'esame chiede la dimostrazione dell'esistenza di zeri sulla derivata di una funzione.
Premetto che non mi è mai capitato ma ho pensato che per esempio avendo una funzione semplice esempio $f(x)=x^2$, io so che sicuramente $x=0$ è uno zero sulla derivata.
Per cui svolgo la derivata: $f'(x)=2x$.
A questo punto per dimostrare l'esistenza di zeri ho pensato di eguagliare la derivata a zero e risolvere l'equazione:
$2x=0$
$x=0$
Secondo voi è un metodo valido per dimostrare l'esistenza di zeri sulla derivata?
Edit: mi sono ricordato del teorema di fermat, fa al mio caso? Scusate la domanda che può sembravi stupida ma tra il nervoso degli esami e il lavoro non so davvero dove sbattere la testa
Ho notato che in un paio di esercizi di preparazione all'esame chiede la dimostrazione dell'esistenza di zeri sulla derivata di una funzione.
Premetto che non mi è mai capitato ma ho pensato che per esempio avendo una funzione semplice esempio $f(x)=x^2$, io so che sicuramente $x=0$ è uno zero sulla derivata.
Per cui svolgo la derivata: $f'(x)=2x$.
A questo punto per dimostrare l'esistenza di zeri ho pensato di eguagliare la derivata a zero e risolvere l'equazione:
$2x=0$
$x=0$
Secondo voi è un metodo valido per dimostrare l'esistenza di zeri sulla derivata?
Edit: mi sono ricordato del teorema di fermat, fa al mio caso? Scusate la domanda che può sembravi stupida ma tra il nervoso degli esami e il lavoro non so davvero dove sbattere la testa
Risposte
ciao!
allora per quanto riguarda l'esempio che hai citato, più che dimostrarne l'esistenza li hai calcolati sti zeri! è ovvio che se li puoi calcolare allora ne dimostri l'esistenza, però possono capitarti casi in cui non riesci proprio a calcolarli.
In questo caso, forse più che il teorema di Fermat[\i] ciò che potrebbe fare al caso tuo è il teorema di Rolle[\i] (Wikipedia è esauriente al riguardo) che dice che se trovi un interavallo $[a,b]$ tale che la funzione $f$ è continua in $[a,b]$ e derivabile in $[a,b]$ e $f(a) = f(b)$ Allora $\exists c \in [a,b] $ tale che $ f'(c) = 0$.
Ti faccio un esempio pratico:
prendi la funzione $f(x) = x\sin(x)$, la sua derivata è $\sin(x) + x\cos(x)$, e risolvere $\sin(x) + x\cos(x) = 0$ rischia di essere un po' complicato.
in compenso se consideri l'intervallo $[0,\pi]$ hai che le ipotesi di continuità e derivabilità sono soddisfatte e in più $f(0) = f(\pi)$ da cui ne puoi dedurre che esiste almeno un punto in cui la derivata si annulla, anche se algebricamente non lo puoi calcolare.
allora per quanto riguarda l'esempio che hai citato, più che dimostrarne l'esistenza li hai calcolati sti zeri! è ovvio che se li puoi calcolare allora ne dimostri l'esistenza, però possono capitarti casi in cui non riesci proprio a calcolarli.
In questo caso, forse più che il teorema di Fermat[\i] ciò che potrebbe fare al caso tuo è il teorema di Rolle[\i] (Wikipedia è esauriente al riguardo) che dice che se trovi un interavallo $[a,b]$ tale che la funzione $f$ è continua in $[a,b]$ e derivabile in $[a,b]$ e $f(a) = f(b)$ Allora $\exists c \in [a,b] $ tale che $ f'(c) = 0$.
Ti faccio un esempio pratico:
prendi la funzione $f(x) = x\sin(x)$, la sua derivata è $\sin(x) + x\cos(x)$, e risolvere $\sin(x) + x\cos(x) = 0$ rischia di essere un po' complicato.
in compenso se consideri l'intervallo $[0,\pi]$ hai che le ipotesi di continuità e derivabilità sono soddisfatte e in più $f(0) = f(\pi)$ da cui ne puoi dedurre che esiste almeno un punto in cui la derivata si annulla, anche se algebricamente non lo puoi calcolare.
Grazie veramente esauriente!
Però nel caso non conoscessi una ascissa $a$ e una ascissa $b$ tali che $f(a)=f(b)$?
Se dovessi provare lo zero in questa funzione:
$f(x)=(3x^2-3x^2e^x+x^3e^x)/(1-e^x)^2$
Cosa dovrei fare?
Finché si tratta di funzioni abbastanza semplici è ok, ma se è una funzione complessa non saprei da dove cominciare.
Però nel caso non conoscessi una ascissa $a$ e una ascissa $b$ tali che $f(a)=f(b)$?
Se dovessi provare lo zero in questa funzione:
$f(x)=(3x^2-3x^2e^x+x^3e^x)/(1-e^x)^2$
Cosa dovrei fare?
Finché si tratta di funzioni abbastanza semplici è ok, ma se è una funzione complessa non saprei da dove cominciare.
ciao, scusa ma mi stavo guardando benigni! quello che potresti provare a fare è una specie di estensione del criterio di prima:
se in un intervallo $[a,b]$ tale che hai la continuità e la derivabilità come Rolle trovi tre punti $x,y,z$ tali che $x f(y)$ e $f(z) > f(y)$ allora la derivata deve annullarsi in almeno un punto, e siccome qui non devi soddisfare delle uguaglianze ma delle disuguaglianze la cosa dovrebbe essere un po' più fattibile..
se in un intervallo $[a,b]$ tale che hai la continuità e la derivabilità come Rolle trovi tre punti $x,y,z$ tali che $x
Tutto chiaro!
Grazie davvero.
Grazie davvero.
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