Dimostrazione Weierstrass senza una ipotesi
Devo dimostrare che per ogni intervallo chiuso \(\displaystyle I=[a,b] \epsilon \Z \) ho massimo e minimo.. userei Weierstrass, ma questo suppone la continuità nel dato intervallo.
Logicamente poi è corretto che se prendo un intervallo su Z c'è per forza massimo e minimo, quindi devo poterlo dimostrare in qualche modo.. come procedo?
Ho pensato di vedere l'intervallo come una funzione ignota interpolatrice (tipo una retta) e di applicare Weierstrass.. ma non credo sia corretto.
Grazie mille in anticipo!
Logicamente poi è corretto che se prendo un intervallo su Z c'è per forza massimo e minimo, quindi devo poterlo dimostrare in qualche modo.. come procedo?
Ho pensato di vedere l'intervallo come una funzione ignota interpolatrice (tipo una retta) e di applicare Weierstrass.. ma non credo sia corretto.
Grazie mille in anticipo!
Risposte
Senza la continuità non puoi dimostrare proprio nulla. Anche solo un singolo punti di non continuità e puoi fare una funzione che mappa quell'intervallo in tutto \(\mathbb{R}\) e quindi a qualcosa che non è limitato.
Come potrei allora dimostrare l'affermazione? Ho pensato subito a Weierstrass perché mi darebbe massimo e minimo.. però giustamente manca una ipotesi fondamentale.. che ragionamento posso fare?
Penso che intendesse scrivere \( [a,b] \cap \mathbb{Z} \) (la scrittura proposta non ha senso), nel qual caso...
Prova a capire com'è fatto il tuo insieme. In spoiler un aiuto più esplicito se proprio sei in alto mare.
Prova a capire com'è fatto il tuo insieme. In spoiler un aiuto più esplicito se proprio sei in alto mare.
No, intendevo proprio dire che per ogni insieme chiuso preso da Z (inclusione) esiste massimo e minimo..
A livello logico è abbastanza ovvio, prendo qualche esempio: [-3,2] [7,100], essendo in Z posso tranquillamente affermare che gli estremi sono i valori che sto cercando, però non riesco a dimostrarlo..
Magari con Weierstrass non ci cavo ragno dal buco, però in qualche modo deve esserci una dimostrazione
A livello logico è abbastanza ovvio, prendo qualche esempio: [-3,2] [7,100], essendo in Z posso tranquillamente affermare che gli estremi sono i valori che sto cercando, però non riesco a dimostrarlo..
Magari con Weierstrass non ci cavo ragno dal buco, però in qualche modo deve esserci una dimostrazione
Ti rendi conto che l'intersezione di \(\displaystyle \mathbb{Z} \) con un intervallo chiuso e limitato (insieme chiuso ha una accezione ben più ampia e la tua frase diventa falsa) è un insieme finito. Quindi tu ti stai chiedendo se gli insiemi finiti hanno un massimo e un minimo? Se è così ti stai proprio perdendo in un bicchiera d'acqua. Ma in compenso puoi usare la versione topologia di Weierstrass (\(\displaystyle \mathbb{Z} \) con la topologia indotta da \(\displaystyle \mathbb{R} \) ha la topologia discreta quindi ogni funzione da \(\displaystyle \mathbb{Z} \) a qualche insieme è continua e ogni sottoinsieme di \(\displaystyle \mathbb{Z} \) è chiuso).
Tra l'altro, anche se forse non te ne rendi conto \(\displaystyle [0,\infty) \) è un insieme chiuso. Weierstrass infatti richiede chiuso e limitato, anche se in realtà intende dire compatto (ma su \(\displaystyle \mathbb{R} \) le due cose coincidono).
Tra l'altro, anche se forse non te ne rendi conto \(\displaystyle [0,\infty) \) è un insieme chiuso. Weierstrass infatti richiede chiuso e limitato, anche se in realtà intende dire compatto (ma su \(\displaystyle \mathbb{R} \) le due cose coincidono).
Allora proviamo questo ragionamento:
Ho un intervallo chiuso e limitato, per Heine Borel so che è compatto, di conseguenza da questa definizione e dalla definizione che f è continua se trasforma compatti in compatti, allora essendo compatto anche il codominio, ho che esiste sia massimo che minimo per Weierstrass.
Così è corretto?
Ho un intervallo chiuso e limitato, per Heine Borel so che è compatto, di conseguenza da questa definizione e dalla definizione che f è continua se trasforma compatti in compatti, allora essendo compatto anche il codominio, ho che esiste sia massimo che minimo per Weierstrass.
Così è corretto?
Ma se tu sei in \(\mathbb{Z}\) allora non c'è bisogno di scomodare la topologia per dire che un ‘intervallo’ limitato in \(\mathbb{Z}\) è finito. E neanche per dire che un insieme finito possiede un massimo e un minimo, di fatto possiede un ordinamento completo (a meno di ripetizioni).
Grazie mille mi hai illuminato in effetti era più semplice di quanto pensassi
in effetti era più semplice di quanto pensassi
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