Dimostrazione valore assoluto.
Salve, sono al primo anno di Ingegneria e non ho capito la dimostrazione del valore assoluto.
Allora il libro dice così: Proviamo che per ogni r>0 vale: |x|≤ r è uguale a -r≤x≤r.
Dimostrazione: Supponiamo |x|≤r. Se x≥0 allora x≥-r (e fin qui ci siamo perchè x abbiamo detto è positivo, r anche, quindi -r è negativo e quindi x≥-r), quindi: |x|=x≤r (perchè? Abbiamo detto x≥-r, se cambiamo di verso e segno non sarebbe -x≤r?. Qui non ho capito); poi se x<0 allora x≤r (qui ho capito, x è negativo e r positivo per cui x è più piccolo) e |x|=-x≤r (qui di nuovo non ho capito perchè se avevamo detto x≤r), da cui x≥-r.
Viceversa supponiamo -r≤x≤r. Allora, se x≥0 si ha |x|=x≤r, mentre se x<0 si ha x= -|x|≥-r, da cui |x|≤r.
Ecco non ci ho capito nulla
Eppure il valore assoluto lo so bene Aiutatemi
Allora il libro dice così: Proviamo che per ogni r>0 vale: |x|≤ r è uguale a -r≤x≤r.
Dimostrazione: Supponiamo |x|≤r. Se x≥0 allora x≥-r (e fin qui ci siamo perchè x abbiamo detto è positivo, r anche, quindi -r è negativo e quindi x≥-r), quindi: |x|=x≤r (perchè? Abbiamo detto x≥-r, se cambiamo di verso e segno non sarebbe -x≤r?. Qui non ho capito); poi se x<0 allora x≤r (qui ho capito, x è negativo e r positivo per cui x è più piccolo) e |x|=-x≤r (qui di nuovo non ho capito perchè se avevamo detto x≤r), da cui x≥-r.
Viceversa supponiamo -r≤x≤r. Allora, se x≥0 si ha |x|=x≤r, mentre se x<0 si ha x= -|x|≥-r, da cui |x|≤r.
Ecco non ci ho capito nulla
Eppure il valore assoluto lo so bene Aiutatemi
Risposte
Ti ricordo che il valore assoluto è un'applicazione del tipo $ || : RR -> RR$ definita ponendo $\forall x \in RR : |x| = max{x,-x}$. ( Si usa $|x|$ in luogo di $||(x)$ puramente per una questione estetica e di convenzione.)
Osserva che questa funzione è tale che $\forall x \in RR : |x|>=0$ perché se $x>=0 : max{x,-x}=x>=0 , x<0 : max{-x,x}=-x>0$.
Quello che tu vuoi provare è che $\forall r > 0 |x|<= r <=> -r<=x<=r$.
Vedere l'implicazione da sinistra verso destra è abbastanza semplice, in quanto
se $|x|<= r => max{-x,x}<=r => -x<=r \wedge x<=r => x>=-r \wedge x<=r => -r<=x<=r$
L'altra implicazione vedila così, considera l'insieme ${x,-x}$ cosa rappresenta $r$ per tale insieme?
Osserva che questa funzione è tale che $\forall x \in RR : |x|>=0$ perché se $x>=0 : max{x,-x}=x>=0 , x<0 : max{-x,x}=-x>0$.
Quello che tu vuoi provare è che $\forall r > 0 |x|<= r <=> -r<=x<=r$.
Vedere l'implicazione da sinistra verso destra è abbastanza semplice, in quanto
se $|x|<= r => max{-x,x}<=r => -x<=r \wedge x<=r => x>=-r \wedge x<=r => -r<=x<=r$
L'altra implicazione vedila così, considera l'insieme ${x,-x}$ cosa rappresenta $r$ per tale insieme?
Scusami ma non ho capito, perchè |x| è uguale al max [-x; x]? Cosa significa?
A noi hanno solo detto che |x| è uguale a x se x>0, è uguale a -x se x<0 e uguale a 0 se x=0. Questo so io, riferimenti a massimi o minimi non li so, me li spiegheresti per favore?
A noi hanno solo detto che |x| è uguale a x se x>0, è uguale a -x se x<0 e uguale a 0 se x=0. Questo so io, riferimenti a massimi o minimi non li so, me li spiegheresti per favore?
È una definizione equivalente del valore assoluto. Sai cosa si intende per "massimo" o "minimo " ?
Inoltre, ti invito preliminarmente a dimostrare l'equivalenza della mia e della tua definizione di valore assoluto.
In spoiler l'equivalenza :
Inoltre, ti invito preliminarmente a dimostrare l'equivalenza della mia e della tua definizione di valore assoluto.
In spoiler l'equivalenza :
Ciao Raissa,
hai chiarito nel frattempo? Comunque posto una foto con uno schema.
Se x è positivo, per es. x = 5, il massimo fra x e -x è x e |x| = x (il massimo fra 5 e -5 è 5; |5| = 5).
Se invece x è negativo, p. es. x=-5, il massimo fra x e -x è -x e |x|=-x (il massimo fra -5 e 5 è 5 = -(-5); |-5| = 5).
Scusate per l'invadenza della foto, non so ridimensionarla.
hai chiarito nel frattempo? Comunque posto una foto con uno schema.
"raissa10":
Scusami ma non ho capito, perché |x| è uguale al max [-x; x]? Cosa significa?
Se x è positivo, per es. x = 5, il massimo fra x e -x è x e |x| = x (il massimo fra 5 e -5 è 5; |5| = 5).
Se invece x è negativo, p. es. x=-5, il massimo fra x e -x è -x e |x|=-x (il massimo fra -5 e 5 è 5 = -(-5); |-5| = 5).
Scusate per l'invadenza della foto, non so ridimensionarla.
Grazie mille, ora ho capito!!! Gentilissimi 
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