Dimostrazione Unicità del Limite
Salve la prof ci ha dato questa Dimostrazione del Teorema di Unicità del Limite..
Suppongo per assurdo che anche lim di f(x) per x->x0 è uguale a l1
con l>l1, ε=(l-l1)/2
∃δ ∀x |x-x0|<δ |f(x) -l |< ε
∀ε ∃δ1 tc ∀x |x-x0|<δ 1 |f(x) -l |< ε
se δ=min(δ, δ1) ∀x |x-x0|<δ
l1-ε
l-ε
Ragazzi questa è la dimostrazione che ci ha dato la prof, però non sono riuscito a capirci molto..
Mi potreste dare una mano?
Suppongo per assurdo che anche lim di f(x) per x->x0 è uguale a l1
con l>l1, ε=(l-l1)/2
∃δ ∀x |x-x0|<δ |f(x) -l |< ε
∀ε ∃δ1 tc ∀x |x-x0|<δ 1 |f(x) -l |< ε
se δ=min(δ, δ1) ∀x |x-x0|<δ
l1-ε
l-ε
Ragazzi questa è la dimostrazione che ci ha dato la prof, però non sono riuscito a capirci molto..
Mi potreste dare una mano?
Risposte
Questa dimostrazione è sempre stata proposta in varie salse e varianti. Credo che la tua professoressa abbia ragionato su questa linea:
Per definizione di limite, abbiamo che:
$lim_(x\rightarrowx_0)f(x)=l \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 : \forallx : |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-l|<\varepsilon $
Vogliamo dimostrare che se una funzione ammette limite per x tendente ad x0, esso è unico.
Per assurdo, supponiamo la nostra funzione ammetta due limiti, che chiameremo per praticità $l_1$ ed $l_2$ (nel tuo caso li hai chiamati $l$ ed $l_1$) diversi, ad esempio tale che $l_1>l_2$. Poiché sono entrambi limiti, deve valere per entrambi la stessa definizione:
$ 1) \forall \varepsilon > 0, \exists \delta_1 > 0 : \forallx : |x-x_0|<\delta_1 \Rightarrow |f(x)-l_1|<\varepsilon $
$ 2) \forall \varepsilon > 0, \exists \delta_2 > 0 : \forallx : |x-x_0|<\delta_2 \Rightarrow |f(x)-l_2|<\varepsilon $
Le quantità $\varepsilon$ sono "piccole a piacere", o come si dice più propriamente, arbitrarie. Ciò significa che possiamo liberamente porle pari a:
$\varepsilon=(l_2-l_1)/2$
Prendiamo l'intorno di $x_0$ più piccolo, cioè quello che ha il $delta$ più piccolo (minore, appunto), per cui vale sia l'implicazione a destra della 1) che della 2):
$|f(x)-l_1|<\varepsilon \Rightarrow l_1-\varepsilon
La funzione è, nell'intorno considerato, più piccola di $ l_1+\varepsilon $ e più grande di $ l_2-\varepsilon $, perciò:
$ l_2-\varepsilon
Ma avevamo IMPOSTO fin dall'inizio che $\varepsilon$ fosse uguale a $(l_2-l_1)/2$, non maggiore. Da qui l'assurdo, nato dal fatto che abbiamo supposto i limiti tra loro diversi. Necessariamente, quindi, essi coincidono.
Per definizione di limite, abbiamo che:
$lim_(x\rightarrowx_0)f(x)=l \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 : \forallx : |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-l|<\varepsilon $
Vogliamo dimostrare che se una funzione ammette limite per x tendente ad x0, esso è unico.
Per assurdo, supponiamo la nostra funzione ammetta due limiti, che chiameremo per praticità $l_1$ ed $l_2$ (nel tuo caso li hai chiamati $l$ ed $l_1$) diversi, ad esempio tale che $l_1>l_2$. Poiché sono entrambi limiti, deve valere per entrambi la stessa definizione:
$ 1) \forall \varepsilon > 0, \exists \delta_1 > 0 : \forallx : |x-x_0|<\delta_1 \Rightarrow |f(x)-l_1|<\varepsilon $
$ 2) \forall \varepsilon > 0, \exists \delta_2 > 0 : \forallx : |x-x_0|<\delta_2 \Rightarrow |f(x)-l_2|<\varepsilon $
Le quantità $\varepsilon$ sono "piccole a piacere", o come si dice più propriamente, arbitrarie. Ciò significa che possiamo liberamente porle pari a:
$\varepsilon=(l_2-l_1)/2$
Prendiamo l'intorno di $x_0$ più piccolo, cioè quello che ha il $delta$ più piccolo (minore, appunto), per cui vale sia l'implicazione a destra della 1) che della 2):
$|f(x)-l_1|<\varepsilon \Rightarrow l_1-\varepsilon
La funzione è, nell'intorno considerato, più piccola di $ l_1+\varepsilon $ e più grande di $ l_2-\varepsilon $, perciò:
$ l_2-\varepsilon
Ma avevamo IMPOSTO fin dall'inizio che $\varepsilon$ fosse uguale a $(l_2-l_1)/2$, non maggiore. Da qui l'assurdo, nato dal fatto che abbiamo supposto i limiti tra loro diversi. Necessariamente, quindi, essi coincidono.
Da questo punto in poi non mi è molto chiaro:
Prendiamo l'intorno di x0 più piccolo, cioè quello che ha il δ più piccolo (minore, appunto), per cui vale sia l'implicazione a destra della 1) che della 2):
|f(x)−l1|<ɛ⇒l1−ɛ
La funzione è, nell'intorno considerato, più piccola di l1+ɛ e più grande di l2−ɛ, perciò:
l2−ɛ
Ma avevamo IMPOSTO fin dall'inizio che ɛ fosse uguale a l2−l12, non maggiore. Da qui l'assurdo, nato dal fatto che abbiamo supposto i limiti tra loro diversi. Necessariamente, quindi, essi coincidono.
Prendiamo l'intorno di x0 più piccolo, cioè quello che ha il δ più piccolo (minore, appunto), per cui vale sia l'implicazione a destra della 1) che della 2):
|f(x)−l1|<ɛ⇒l1−ɛ
La funzione è, nell'intorno considerato, più piccola di l1+ɛ e più grande di l2−ɛ, perciò:
l2−ɛ
Ma avevamo IMPOSTO fin dall'inizio che ɛ fosse uguale a l2−l12, non maggiore. Da qui l'assurdo, nato dal fatto che abbiamo supposto i limiti tra loro diversi. Necessariamente, quindi, essi coincidono.
Perdonami, sono stato molto sbrigativo e poco chiaro.
Quando hai un limite, sai che vale:
$\forall x: |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-l|<\varepsilon$
cioé:
"Per ogni x appartenente ad un intorno di raggio $delta$ di $x_0$ (in rosso), so che $f(x)$ è "vicino" ad $l$, cioè è contenuto in una stretta fascia $(l-\varepsilon, l+\varepsilon)$ (in azzurro)" come nel disegno.
Ora, nelle ipotesi che stiamo facendo, abbiamo due diversi limiti, e abbiamo scelto due diversi intorni di $x_0$, di raggi $\delta_1$ e $delta_2$. Per poter paragonare i due limiti, $l_1$ ed $l_2$, dobbiamo metterci nella condizione di poter paragonare le due fasce (quelle in rosso nel disegno).
Ammettiamo ad esempio $\delta_1>\delta_2$:
Sai che per ogni $x$ appartenente $x_0-\delta_1, x_0+\delta_1$ vale sicuramente la $1)$, poiché siamo in un intorno che "stringa" f(x) attorno ad l. D'altra parte, non è detto valga la $2)$: forse l'intorno $x_0-\delta_1, x_0+\delta_1$ è troppo ampio, ed escono delle x per cui non vale $|f(x)
C'è altro che è poco chiaro?
Quando hai un limite, sai che vale:
$\forall x: |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-l|<\varepsilon$
cioé:
"Per ogni x appartenente ad un intorno di raggio $delta$ di $x_0$ (in rosso), so che $f(x)$ è "vicino" ad $l$, cioè è contenuto in una stretta fascia $(l-\varepsilon, l+\varepsilon)$ (in azzurro)" come nel disegno.
Ora, nelle ipotesi che stiamo facendo, abbiamo due diversi limiti, e abbiamo scelto due diversi intorni di $x_0$, di raggi $\delta_1$ e $delta_2$. Per poter paragonare i due limiti, $l_1$ ed $l_2$, dobbiamo metterci nella condizione di poter paragonare le due fasce (quelle in rosso nel disegno).
Ammettiamo ad esempio $\delta_1>\delta_2$:
Sai che per ogni $x$ appartenente $x_0-\delta_1, x_0+\delta_1$ vale sicuramente la $1)$, poiché siamo in un intorno che "stringa" f(x) attorno ad l. D'altra parte, non è detto valga la $2)$: forse l'intorno $x_0-\delta_1, x_0+\delta_1$ è troppo ampio, ed escono delle x per cui non vale $|f(x)
C'è altro che è poco chiaro?
"Lele0012":
...
Per definizione di limite, abbiamo che:
$lim_(x\rightarrowx_0)f(x)=l \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 : \forallx : |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-l|<\varepsilon $
...
Apprezzo lo sforzo, ma questa NON è la definizione di limite. E manca una condizione ESSENZIALE per poter dimostrare che il limite è unico.
Vediamo una def corretta.
Sia $f:A \to RR$, con $A \sube RR$.
Sia $x_0$ PUNTO DI ACCUMULAZIONE per $A$.
Sia $L \in RR$.
Diciamo che $L$ è il limite di $f$ per $x$ tendente a $x_0$ se:
$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 : \forall x \in A ( 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon) $
Un'altra definizione corretta di limite è la seguente, anche se è d'uso meno comune...
Sia $f:A \to RR$, con $A \sube RR$.
Sia $x_0 \in RR$
Sia $L \in RR$.
Diciamo che $L$ è UN limite di $f$ per $x$ tendente a $x_0$ se:
$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 : \forall x \in A ( 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon) $
In effetti, visto che non è stato richiesto che $x_0$ sia di accumulazione per $A$, non c'è verso di dimostrare che il limite è unico. Perché non lo è...
Insomma, al di là dell'intuizione (utilissima, per carità!), la condizione fondamentale per l'unicità del limite è proprio il fatto che $x_0$ sia di accumulazione per il dominio di $f$
Faccio notare anche la condizione $0<|x-x_0|$ che compare nella definizione e che ci ricorda come il limite di una funzione (per $x$ che tende a $x_0$) è completamente indipendente da quello che fa $f$ in $x_0$!! Non interessa neppure sapere se $f$ sia definita oppure non in $x_0$
Chiedo scusa. Ho dato per scontato il punto $x_0$ fosse di accumulazione, come credo che l'avesse sottointeso anche Panpres96. Non ho voluto cimentarmi in troppi formalismi in quanto era evidente l'utente avesse richiesto solo un chiarimento riguardo una dimostrazioncina banale e abbastanza canonica. Certo che $x_0$ è di accumulazione, non avrebbe senso parlare di limite, chiedo scusa per la mia negligenza nel non aver sottolineato un punto fondamentale, dato qui per assodato.
"Fioravante Patrone":
Un'altra definizione corretta di limite è la seguente, anche se è d'uso meno comune...
Sia $f:A \to RR$, con $A \sube RR$.
Sia $x_0 \in RR$
Sia $L \in RR$.
Diciamo che $L$ è UN limite di $f$ per $x$ tendente a $x_0$ se:
$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 : \forall x \in A ( 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon) $
In effetti, visto che non è stato richiesto che $x_0$ sia di accumulazione per $A$, non c'è verso di dimostrare che il limite è unico. Perché non lo è...
Sono anni che non rivedo queste cose ma quel che dici mi lascia un po' perplesso. Se \(\displaystyle x_0 \) è un punto di accumulazione nessun problema. Ma se non lo è allora non comprendo che senso abbia definire il concetto di limite dato che \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle x_0 \) sono topologicamente disgiunti. Insomma esiste \(\displaystyle \delta > 0 \) tale che \(\displaystyle B(x_0,\delta) \cap A \subseteq \{ x_0\} \) e non esiste alcuna successione di elementi di \(\displaystyle A-\{x_0\} \) che converge a \(\displaystyle x_0 \).
D'altra parte nella tua seconda definizione stai considerando palle aperte intorno a \(\displaystyle x_0 \) e come tali sono insiemi ordinati e con intersezione non nulla. Quindi supponiamo che si abbia \(\displaystyle fB(x_0, \delta_1) \subseteq B(L_1, \varepsilon) \) e \(\displaystyle fB(x_0, \delta_2) \subseteq B(L_2, \varepsilon) \) allora per \(\displaystyle \delta_1 \ge \delta_2 \) si ha che \(\displaystyle fB(x_0, \delta_2) \subseteq B(L_2, \varepsilon)\cap B(L_1,\varepsilon) \) che per una adeguata scelta di \(\displaystyle \varepsilon \) è uguale all'insieme vuoto.
In sostanza devo pensare che la non unicità derivi dal fatto che \(\displaystyle 0<\lvert x - x_0 \rvert < \delta \Leftarrow \lvert f(x) - L\rvert < \varepsilon \) è vera quando \(\displaystyle 0<\lvert x - x_0 \rvert < \delta \) è falso? E che quindi per \(\displaystyle x_0 \) non punto di accumulazione ogni elemento di \(\displaystyle \mathbb{R} \) possa essere considerato limite di \(f\)?
"vict85":
[quote="Fioravante Patrone"]Un'altra definizione corretta di limite è la seguente, anche se è d'uso meno comune...
Sia $f:A \to RR$, con $A \sube RR$.
Sia $x_0 \in RR$
Sia $L \in RR$.
Diciamo che $L$ è UN limite di $f$ per $x$ tendente a $x_0$ se:
$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 : \forall x \in A ( 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon) $
In effetti, visto che non è stato richiesto che $x_0$ sia di accumulazione per $A$, non c'è verso di dimostrare che il limite è unico. Perché non lo è...
...
quel che dici mi lascia un po' perplesso
...[/quote]
Ti capisco
Premesso che è una definizione che non serve a niente (ogni L è limite), a mio parere non è da buttare direttamente nella spazzatura. Dopotutto è "la definizione di limite"! Il classico mostro "perogniesisteperogni" è qui, ineffabile:
$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 : \forall x \in A ( 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon) $
Non ho spostato una virgole, è rimasta uguale... ho solo tolto un requisito che normalmente si impone. Ma ce lo prescrive il medico?
No, come non ci prescrive che si debbano usare funzioni reali, né che siano di variabile reale. A dire il vero, potremmo anche considerare "funzioni plurivoche", altre topologie, etc.
"Lele0012":
Chiedo scusa. Ho dato per scontato il punto $x_0$ fosse di accumulazione, come credo che l'avesse sottointeso anche Panpres96. Non ho voluto cimentarmi in troppi formalismi in quanto era evidente l'utente avesse richiesto solo un chiarimento riguardo una dimostrazioncina banale e abbastanza canonica. Certo che $x_0$ è di accumulazione, non avrebbe senso parlare di limite, chiedo scusa per la mia negligenza nel non aver sottolineato un punto fondamentale, dato qui per assodato.
Oops, non avevo visto questo tuo intervento.
Non hai niente di cui scusarti.
Però... la ragione che mi ha spinto a intervenire non riguarda i punti di accumulazione. Anche perché, come si vede, la definizione di limite formalmente sta in piedi anche senza questa condizione (si perde alla grande l'unicità del limite, ma questo fatto ha come conseguenza le sensatissime perplessità di vict85, non certo la fine del mondo!).
La ragione per cui sono intervenuto è un'altra. E' che non potevo sopportare l'assenza di "$0<|x-x_0|$" Non mettere questa condizione è un errore gravissimo, perché questo è un aspetto fondamentale dell'idea di limite.
Pensiamo per un attimo alla classica definizione di continuità che si racconta ai bambini:
$f$ è continua in $x_0$ se e solo se $lim_(x\rightarrowx_0)f(x)=f(x_0)$
impone la coincidenza di due cose a priori del tutto indipendenti:
- il valore di $f$ in $x_0$ (che non dipende per nulla da cosa fa $f$ nei punti vicini a $x_0$, ma distinti da esso)
- il limite di $f$ in $x_0$ (che non dipende per nulla da cosa fa $f$ in $x_0$)
Adesso comprendo meglio la tua critica, e la condivido appieno. Ahimé sono abituato alla definizione di limite che sfrutta gli intorni in questa forma (equivalente),
$\forall x\in A\capI(x_0)\backslash{x_0}$
e, per aiutare Panpres, ho cercato di prendere una forma a lui nota, dimenticando un dettaglio fondamentale. Grazie per la precisazione!
$\forall x\in A\capI(x_0)\backslash{x_0}$
e, per aiutare Panpres, ho cercato di prendere una forma a lui nota, dimenticando un dettaglio fondamentale. Grazie per la precisazione!
Ragazzi Scusate, forse c'è un errore nel prendere l1 ed l2, perchè vado a fare i calcoli ottengo una scrittura differente
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