Dimostrazione - Unicità del Limite

[AmarildoA]

Salve ragazzi,
Sto avendo difficoltà a capire la dimostrazione dell'unicità del limite...ve la riporta ugale:
Vi sottolineo in rosso le parti che non mi sono chiare

"Per assurdo:
$\lim _{x\to x_0}f(x)=l_1$ e $\lim _{x\to x_0}f(x)=l_2$, con $l_1$diverso da $l_2$
Per definizione di limite:
$\forall \varepsilon >0, \exists \delta_1 > 0: \forall x \in A, 0<|x-x_0|<\delta_1$ sia $|f(x)-l_1|<\color{red}{\frac{\varepsilon}{3}}$ $\color{green}{\text{(non mi è chiaro perche proprio questo valore)}}$
$\forall \varepsilon >0, \exists \delta_2 > 0: \forall x \in A, 0<|x-x_0|<\delta_2$ sia $|f(x)-l_1|<\color{red}{\frac{\varepsilon}{3}}$
Fissato $\color{red}{\varepsilon = |l_1-l_2|}$ $\color{green}{\text{qua non mi è chiaro perchè assegna quel modulo a epsilon}}$, sia $\delta= min{\delta_1(\varepsilon), \delta_2(\varepsilon)}$.$\color{green}{\text{(qua forse ho capito, cioè con quel min, va a prendere il minore tra i due?)}}$
$\forall x \in A, 0<|x-x_0|<\delta \le \delta_1, \delta_2$ avrò,
$|l_1-l_2|=|l_1-l_2+f(x)-f(x)|\le |l_1-f(x)|+|l_2-f(x)|<\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\color{red}{\frac{2\varepsilon}{3}}$"
non mi è chiaro nemmeno il finale...quel risultato che ottengo cosa mi significa? in che modo cadremmo in un assurdo?

Grazie mille

[fractalius]

Dato che la definizione di limite è data per ogni $\epsilon$, ovvero essendo $\epsilon$ arbitrario, altrettanto arbitrario sarà considerare $\frac{epsilon}{3}$: la scelta è fatta a posteriori, perché dividendo per 3 otterrà un tipo di valore utile per i conti successivi. Poi considera $\epsilon=|l_1 - l_2|$, ovvero in valore assoluto, perché avendo supposto $\l_1$ diverso da $\l_2$, se $\l_1

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[AmarildoA]

Ok tutto chiaro ti ringrazio
Però non so rispondere al tuo quesito , come mai va a prendere il più piccolo?

[fractalius]

Prendendo il minimo si assicura che entrambe le condizioni sui limiti siano soddisfatte. Se ad esempio $\delta=delta_1$, allora tu sai che $\AAx inA(0<|x-x_0||f(x)-l_1|< frac{epsilon}{3})$, ma essendo anche $\|x-x_0||f(x)-l_2|< frac{epsilon}{3})$, ovvero tale $\delta$ è adatto come raggio dell'intorno di $\x_0$ per verificare che entrambi gli ipotetici valori differenti $\l_1$ ed $\l_2$ siano il limite per il considerato $\frac{epsilon}{3}$. Per la cronaca, questa proprietà deriva dal una caratteristica della topologia di $RR$, ossia della famiglia degli intorni di ogni punto della retta reale: tale proprietà è detta di Hausdorff, e afferma che presi due punti distinti di $RR$ esistono due intorni aperti, uno per punto, disgiunti, ossia ad intersezione vuota. Ipotizzando la non unicità del limite, sarebbero ammissibili tali intorni disgiunti per i due limiti diversi considerati, e verrebbero meno delle proprietà (il problema del limite è l'estensione della proprietà di continuità di una funzione in un punto di accumulazione $\x_0$ del dominio: se una funzione $\f$ ammette limite $\l$ tendendo a tale punto di accumulazione, allora definendo la nuova funzione

$\g(x)={(f(x), if x!=x_0), (l, if x=x_0) :}$,

essa sarà continua in $\x_0$; se il limite non fosse unico, a posteriori questa definizione non avrebbe senso in termini di funzione, a priori, considerato che due valori diversi del limite rendono la nuova funzione $\g$ continua in $\x_0$, la proprietà di Hausdorff unita alla continuità condurrebbe ad un assurdo).

[AmarildoA]

Grazie Ancora