Dimostrazione tramite l'ANS del polinomio di Mclaurin
Buon pomeriggio a tutti.
Ho letto tutta la trattazione (quella scaricabile gratuitamente dal sito) di Paolo Bonavoglia sul calcolo infinitesimale tramite l'approccio dell'Analisi Non Standard. (Tra l'altro ne approfitto per fargli i complimenti per l'ottimo lavoro!)
Incuriosito, mi sono messo a cercare per la rete altri documenti che riguardassero questo tipo di approccio.
Mi ha colpito, tra le altre cose, il modo in cui viene dimostrato il polinomio di Mclaurin: viene semplicemente spiegato, ovunque, che "il polinomio che meglio approssima una funzione in un punto (nel caso specifico 0) è quello che:
1) Ha lo stesso valore della funzione in 0;
2) La sua derivata prima calcolata in 0 ha lo stesso valore della derivata prima della funzione calcolata in 0;
3) La sua derivata seconda..... eccetera.
Ora, ovviamente il primo punto è chiaro: visto che ci interessa un intorno di quel punto è chiaro che (almeno) in quel punto il nostro polinomio deve avere lo stesso valore della funzione.
Non riesco però a capire perché l'imposizione dello stesso valore delle derivate in quel punto sia una condizione che approssima meglio il polinomio alla funzione, cioè perché proprio la derivata (e le derivate successive) hanno la proprietà di approssimare meglio il polinomio.
Capisco, per esempio, che la retta tangente in quel punto è quella che meglio approssima la funzione in un intorno di quel punto... Ma non capisco perché, derivando ulteriormente, l'approssimazione si faccia via via più corretta anche allontanandosi da 0.
C'è qualcuno che me lo saprebbe spiegare?
Grazie infinite ragazzi!
Ho letto tutta la trattazione (quella scaricabile gratuitamente dal sito) di Paolo Bonavoglia sul calcolo infinitesimale tramite l'approccio dell'Analisi Non Standard. (Tra l'altro ne approfitto per fargli i complimenti per l'ottimo lavoro!)
Incuriosito, mi sono messo a cercare per la rete altri documenti che riguardassero questo tipo di approccio.
Mi ha colpito, tra le altre cose, il modo in cui viene dimostrato il polinomio di Mclaurin: viene semplicemente spiegato, ovunque, che "il polinomio che meglio approssima una funzione in un punto (nel caso specifico 0) è quello che:
1) Ha lo stesso valore della funzione in 0;
2) La sua derivata prima calcolata in 0 ha lo stesso valore della derivata prima della funzione calcolata in 0;
3) La sua derivata seconda..... eccetera.
Ora, ovviamente il primo punto è chiaro: visto che ci interessa un intorno di quel punto è chiaro che (almeno) in quel punto il nostro polinomio deve avere lo stesso valore della funzione.
Non riesco però a capire perché l'imposizione dello stesso valore delle derivate in quel punto sia una condizione che approssima meglio il polinomio alla funzione, cioè perché proprio la derivata (e le derivate successive) hanno la proprietà di approssimare meglio il polinomio.
Capisco, per esempio, che la retta tangente in quel punto è quella che meglio approssima la funzione in un intorno di quel punto... Ma non capisco perché, derivando ulteriormente, l'approssimazione si faccia via via più corretta anche allontanandosi da 0.
C'è qualcuno che me lo saprebbe spiegare?
Grazie infinite ragazzi!
Risposte
Se è così allora, quando dici di comprendere il motivo per il quale "la retta tangente in quel punto è quella che meglio approssima la funzione in un intorno di quel punto", rimani comunque su un piano intuitivo. Dico questo perchè, al di là del termine noto del polinomio, una dimostrazione rigorosa di queste affermazioni deve prendere in considerazione tutte le sue potenze, anche quella di 1° grado. Viceversa, se ci si accontenta dell'intuizione, non si comprende per quale motivo sia necessario limitarsi alla retta e non continuare con la parabola, la cubica e così via.
Ciao speculor.
Non ho capito la tua risposta: tu dici che su un piano intuitivo non si può comprendere il perché le derivate successive hanno quella proprietà? In altre parole che si perde l'interpretazione geometrica?
Non ho capito la tua risposta: tu dici che su un piano intuitivo non si può comprendere il perché le derivate successive hanno quella proprietà? In altre parole che si perde l'interpretazione geometrica?
No, volevo solo farti notare l'incongruenza della posizione secondo la quale, ok intuitivamente la retta tangente mi sta bene, però dalla parabola in poi non mi accontento più dell'intuizione. In altri termini, se l'intuizione mi soddisfa per quanto riguarda la retta tangente, allora dovrebbe fare lo stesso anche per le polinomiali di grado più elevato. Se invece voglio cominciare a procedere con più rigore, allora è necessario applicarlo già a partire dalla retta tangente.
[OT]
Lungi da me la volontà di polemizzare. Voglio solo esprimere un mio personalissimo parere.
Ho visto anche io il lavoro di Bonavoglia: nutro qualche dubbio sulla sua valenza didattica verso i più giovani, ma non è di questo che voglio discutere.
Ecco, quello che voglio dire è questo. Tenete conto che l'Analisi Non Standard non è una roba semplice. Vedo sempre più entusiasmo nei suoi confronti e mi sembra di capire che molti la vedano quasi come una semplice, banale, volgarizzazione dell'Analisi. Sebbene io stesso in passato ne sia rimasto "affascinato" (FP lo sa bene, vedi urang utang et similia), oggi posso affermare con certezza che non è una faccenda banale e bisogna fare attenzione, molta attenzione.
La NSA rientra - più che nel dominio dell'Analisi - nella Teoria dei Modelli che è un settore proprio della Logica. Per affrontarne lo studio, quindi, sarebbe buona cosa sapere un po' di Logica (almeno del prim'ordine) e in particolare appunto un po' di Teoria dei Modelli. Sotto ci sono concetti matematici di un certo spessore: l'elementarietà, ad esempio (vedi l'equivalenza elementare secondo Tarski, il concetto di sottostruttura elementare), i filtri e gli ultraprodotti (vedi, ad esempio, il teorema di Los - cfr. la mia firma) che sono necessari per dimostrare l'esistenza (solo l'esistenza!) di un'estensione di $\mathbb{R}$ che sarebbe appunto quella dei numeri iperreali.
Ecco con queste mie parole (che, ripeto, non vogliono essere polemiche) non voglio frenare gli entusiasmi: per carità, studiare fa sempre bene. Quello che voglio comunicare è che l'NSA non è questione banale, anche se a volte fa comodo venderla così.
Infine, per me, l'Analisi è, e deve restare, quella di Weierstrass e Cauchy, così come noi la conosciamo; per quanto mi riguarda, la NSA costituisce un brillante esempio di applicazione di Teoria dei Modelli ma non un sostituto della nostra Analisi.
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Lungi da me la volontà di polemizzare. Voglio solo esprimere un mio personalissimo parere.
Ho visto anche io il lavoro di Bonavoglia: nutro qualche dubbio sulla sua valenza didattica verso i più giovani, ma non è di questo che voglio discutere.
Ecco, quello che voglio dire è questo. Tenete conto che l'Analisi Non Standard non è una roba semplice. Vedo sempre più entusiasmo nei suoi confronti e mi sembra di capire che molti la vedano quasi come una semplice, banale, volgarizzazione dell'Analisi. Sebbene io stesso in passato ne sia rimasto "affascinato" (FP lo sa bene, vedi urang utang et similia), oggi posso affermare con certezza che non è una faccenda banale e bisogna fare attenzione, molta attenzione.
La NSA rientra - più che nel dominio dell'Analisi - nella Teoria dei Modelli che è un settore proprio della Logica. Per affrontarne lo studio, quindi, sarebbe buona cosa sapere un po' di Logica (almeno del prim'ordine) e in particolare appunto un po' di Teoria dei Modelli. Sotto ci sono concetti matematici di un certo spessore: l'elementarietà, ad esempio (vedi l'equivalenza elementare secondo Tarski, il concetto di sottostruttura elementare), i filtri e gli ultraprodotti (vedi, ad esempio, il teorema di Los - cfr. la mia firma) che sono necessari per dimostrare l'esistenza (solo l'esistenza!) di un'estensione di $\mathbb{R}$ che sarebbe appunto quella dei numeri iperreali.
Ecco con queste mie parole (che, ripeto, non vogliono essere polemiche) non voglio frenare gli entusiasmi: per carità, studiare fa sempre bene. Quello che voglio comunicare è che l'NSA non è questione banale, anche se a volte fa comodo venderla così.
Infine, per me, l'Analisi è, e deve restare, quella di Weierstrass e Cauchy, così come noi la conosciamo; per quanto mi riguarda, la NSA costituisce un brillante esempio di applicazione di Teoria dei Modelli ma non un sostituto della nostra Analisi.
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Grazie paolo90 per la tua opinione.
La mia intenzione non è certo quella di sostituire con l'ANS l'analisi che sto studiando. Quello che chiedevo era semplicemente un chiarimento riguardo quell'argomento specifico.
Speculor, mi sapresti quindi indicare (o se puoi spiegarmelo tu stesso!) il ragionameto rigoroso col quale si afferma l'affidabilità del polinomio di mclaurin, dal termine noto alle derivate successive?
La mia intenzione non è certo quella di sostituire con l'ANS l'analisi che sto studiando. Quello che chiedevo era semplicemente un chiarimento riguardo quell'argomento specifico.
Speculor, mi sapresti quindi indicare (o se puoi spiegarmelo tu stesso!) il ragionameto rigoroso col quale si afferma l'affidabilità del polinomio di mclaurin, dal termine noto alle derivate successive?
Io non conosco assolutamente l'analisi non standard. Le mie considerazioni erano dettate dalla conoscenza dell'analisi tradizionale. Se vuoi, posso aiutarti con questa. Altrimenti mi scuso per il disguido.
@borador:
Semplicemente, questo è il "succo" del teorema di Taylor.
Il teorema ti dice che, se una funzione \(f(x)\) è derivabile \(N\) volte in un punto \(x_0\), allora la differenza tra \(f(x)\) ed il polinomio di Taylor \(p_N(x;x_0):=\sum_{n=0}^N \frac{1}{n!} f^{(n)}(x_0)\ (x-x_0)^n\) è un infinitesimo d'ordine superiore ad \((x-x_0)^N\) in \(x_0\), cioè:
\[f(x)-p_N(x;x_0)=\text{o}_{x_0}((x-x_0)^N)\; .\]
Ora, se nelle ipotesi prima dette, è chiaro che si possono scrivere per \(f(x)\) tutti i polinomi di Taylor d'ordine \(M< N\) ossia \(p_M(x;x_0)=\sum_{n=0}^M \frac{1}{n!} f^{(n)}(x_0)\ (x-x_0)^n\) e, per il teorema ricordato più sopra, si ha:
\[f(x)-p_M(x;x_0) =\text{o}_{x_0}((x-x_0)^M)\; .\]
Conseguentemente l'errore \(f(x)-p_N(x;x_0)\) (che si commette approssimando \(f(x)\) con \(p_N(x;x_0)\)) è infinitesimo d'ordine superiore rispetto a \(f(x)-p_M(x;x_0)\) (che si commette approssimando \(f(x)\) con \(p_M(x;x_0)\)) in \(x_0\).
In particolare, ad esempio, l'errore che si commette approssimando \(f(x)\) col polinomio di Taylor del secondo ordine intorno a \(x_0\) (i.e., approssimando il grafico della funzione con un'adeguata parabola) diminuisce più rapidamente quando la variabile tende a \(x_0\) di quanto non faccia l'errore che si commette approssimando \(f(x)\) con il polinomio di Taylor di primo grado (i.e., approssimando il grafico della funzione con un'adeguata retta, la tangente).
@Paolo90: Condivido pienamente le tue considerazioni.
"borador":
Grazie paolo90 per la tua opinione.
La mia intenzione non è certo quella di sostituire con l'ANS l'analisi che sto studiando. Quello che chiedevo era semplicemente un chiarimento riguardo quell'argomento specifico.
Speculor, mi sapresti quindi indicare (o se puoi spiegarmelo tu stesso!) il ragionameto rigoroso col quale si afferma l'affidabilità del polinomio di mclaurin, dal termine noto alle derivate successive?
Semplicemente, questo è il "succo" del teorema di Taylor.
Il teorema ti dice che, se una funzione \(f(x)\) è derivabile \(N\) volte in un punto \(x_0\), allora la differenza tra \(f(x)\) ed il polinomio di Taylor \(p_N(x;x_0):=\sum_{n=0}^N \frac{1}{n!} f^{(n)}(x_0)\ (x-x_0)^n\) è un infinitesimo d'ordine superiore ad \((x-x_0)^N\) in \(x_0\), cioè:
\[f(x)-p_N(x;x_0)=\text{o}_{x_0}((x-x_0)^N)\; .\]
Ora, se nelle ipotesi prima dette, è chiaro che si possono scrivere per \(f(x)\) tutti i polinomi di Taylor d'ordine \(M< N\) ossia \(p_M(x;x_0)=\sum_{n=0}^M \frac{1}{n!} f^{(n)}(x_0)\ (x-x_0)^n\) e, per il teorema ricordato più sopra, si ha:
\[f(x)-p_M(x;x_0) =\text{o}_{x_0}((x-x_0)^M)\; .\]
Conseguentemente l'errore \(f(x)-p_N(x;x_0)\) (che si commette approssimando \(f(x)\) con \(p_N(x;x_0)\)) è infinitesimo d'ordine superiore rispetto a \(f(x)-p_M(x;x_0)\) (che si commette approssimando \(f(x)\) con \(p_M(x;x_0)\)) in \(x_0\).
In particolare, ad esempio, l'errore che si commette approssimando \(f(x)\) col polinomio di Taylor del secondo ordine intorno a \(x_0\) (i.e., approssimando il grafico della funzione con un'adeguata parabola) diminuisce più rapidamente quando la variabile tende a \(x_0\) di quanto non faccia l'errore che si commette approssimando \(f(x)\) con il polinomio di Taylor di primo grado (i.e., approssimando il grafico della funzione con un'adeguata retta, la tangente).
@Paolo90: Condivido pienamente le tue considerazioni.
gugo82, una curiosità, non ho capito se borador, parlando di analisi non standard, necessitava di un procedimento diverso da quello adottato dall'analisi tradizionale. Nel frattempo, grazie per aver esposto così chiaramente i contenuti necessari.
Vi ringrazio entrambi. Si, io conosco il teorema che ha scritto gugo e è sulla base di quello che si basa la mia conoscenza sull'argomento. Mi chiedevo però, visto che l'approccio dell'ANS è differente, se qualcuno poteva spiegarmi una dimostrazione mediante quell'approccio, proprio come dice speculor.
Mi dispiace, ignoro completamente l'argomento.
Grazie comunque speculor, magari passa qualcuno che lo sa!
Salve, anchio ho letto le dispense in rete del prof. paolo bonavoglia, e seppur da profano le ho trovato momlto interessanti, e facilmente comprensibili, riguardo però alla dimostrazione del polinomio di mmc laurin , come ben hai evidenziato non fornisce una dimostrazione del fatto che il polinomio di mc laurin approssimi sempre meglio la funzione man mano che $n$ tende a $infty$, è questo è un dubbio che mi attanaglia da tempo, a cui ancora non ho trovato una risposta, ed anche a me piacerebbe conoscere una dimostrazione di questo fatto tramite l'ANS.
Saliuti!
Saliuti!
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