Dimostrazione teorema per l'integrazione delle serie

[And_And92]

Mi sapreste indicare una dimostrazione rigorosa per il teorema di integrazione delle serie di potenze? Ovvero la possibilità di scambiare integrale e somma nel disco di convergenza. Grazie mille (serve per l'orale di Analisi 1)

[girdav]

Bisogna utilizzare, se $R$ è il raggio di convergenza, il fatto che la serie di potenze è convergente uniformemente nel intervallo $[-r,r]$ per ogni $r

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[Hadronen]

"girdav":Bisogna utilizzare, se $R$ è il raggio di convergenza, il fatto che la serie di potenze è convergente uniformemente nel intervallo $[-r,r]$ per ogni $r
Sì, questo segue dal teorema per l'integrabilità di serie... che segue dal teorema dell'integrabilità di successioni... Forse potresti cominciare a vedere quello.

[dissonance]

"Hadronen":[quote="girdav"]Bisogna utilizzare, se $R$ è il raggio di convergenza, il fatto che la serie di potenze è convergente uniformemente nel intervallo $[-r,r]$ per ogni $r
Sì, questo segue dal teorema per l'integrabilità di serie... che segue dal teorema dell'integrabilità di successioni... Forse potresti cominciare a vedere quello.[/quote]
No. La proprietà citata da girdav non segue da nessun teorema di integrabilità.

Semmai puoi dire che, una volta assodata la proprietà di convergenza di girdav, applicando il teorema di passaggio al limite sotto segno di integrale scatta il risultato citato dall'OP. L'implicazione logica è al contrario, insomma.

[Hadronen]

"dissonance":[quote="Hadronen"][quote="girdav"]Bisogna utilizzare, se $R$ è il raggio di convergenza, il fatto che la serie di potenze è convergente uniformemente nel intervallo $[-r,r]$ per ogni $r
Sì, questo segue dal teorema per l'integrabilità di serie... che segue dal teorema dell'integrabilità di successioni... Forse potresti cominciare a vedere quello.[/quote]
No. La proprietà citata da girdav non segue da nessun teorema di integrabilità.

Semmai puoi dire che, una volta assodata la proprietà di convergenza di girdav, applicando il teorema di passaggio al limite sotto segno di integrale scatta il risultato citato dall'OP. L'implicazione logica è al contrario, insomma.[/quote]

Ovviamente intendevo quello; probabilmente mi sono spiegato male.
Il fatto che la serie sia uniformemente convergente nei compatti in cui converge assolutamente non segue dal teorema di passaggio al limite, ma il teorema di passaggio al limite ha bisogno che la serie sia uniformemente convergente.