Dimostrazione teorema liminf
Ciao a tutti volevo sapere se potevate darmi qualche consiglio su come giustificare parti della dimostrazione di questo teorema che mi rimangono un pò oscure:
Sia $a_n>0$ dimostrare che $text(liminf ) (a_(n+1))/a_n <= text(liminf )root(n)(a_n)<=text(limsup)root(n)(a_n)<=text(limsup)a_(n+1)/a_n $
Ho deciso di procedere così: la prima disuguaglianza è quella che mi preme (anche perché le altre o si fanno per simmetrie rispetto a queste o per semplice definizione), comunque:
- per def di liminf: sia $L = text(limsup) (a_n) iff AAepsilon>0 text( ) EEbar(n): AAn>= bar(n) text( ) (L-epsilon)a_n<=a_(n+1)<=L $
iterando si ottiene che $AAn>=bar(n)$:
$a_(n+1)>=(L-epsilon)^(n-bar(n)+1)a_bar(n)$ e da qui ho qualche problema a procedere. Un possibile modo è:
metto tutto sotto radice n+1-esima: $root(n+1)(a_(n+1))>= (L-epsilon) root(n+1)(a_bar(n)/(L-epsilon)^bar(n))$
da qui procedo o in 1 o in 2:
1) siccome i termini con la n barra sono fissi per n qualsiasi maggiore di n barra significa che n tende a infinito e quindi :
$ (L-epsilon) root(n+1)(a_bar(n)/(L-epsilon)^bar(n)) \rightarrow (L-epsilon)$ e da qui ho praticamente finito perché poi ho che
$text(liminf )root(n+1)(a_(n+1))+epsilon<= root (n+1)(a_n+1) <= (L-epsilon) text( )AAn>=bar(n)$
oppure
2) divido entrambi i membri per $root(n+1)(a_bar(n)/(L-epsilon)^bar(n))$:
$root(n+1)(((a_(n+1)(L-epsilon)^bar(n))/a_bar(n)))>=(L-epsilon) text( ) AAn>=bar(n)$
Ora per definizione di liminf: SIa $M = text(liminf )(root(n+1)(a_(n+1)))$ $iff AAepsilon >0 text( ) EEbar(m): AAn>= bar(m) text( ) (M+epsilon)a_n>=a_(n+1) $ da ciò scelgo un $bar(m)$ tale che :
$(M+epsilon)>= root(n+1)(((a_(n+1)(L-epsilon)^bar(n))/a_bar(n)))>=(L-epsilon) text( ) AAn>=bar(n),bar(m)$ e così ho concluso. Non so ma immagino ci siamo molte cose non giustificate adeguatamente. Potreste aiutarmi a trovarle? Grazie!
Sia $a_n>0$ dimostrare che $text(liminf ) (a_(n+1))/a_n <= text(liminf )root(n)(a_n)<=text(limsup)root(n)(a_n)<=text(limsup)a_(n+1)/a_n $
Ho deciso di procedere così: la prima disuguaglianza è quella che mi preme (anche perché le altre o si fanno per simmetrie rispetto a queste o per semplice definizione), comunque:
- per def di liminf: sia $L = text(limsup) (a_n) iff AAepsilon>0 text( ) EEbar(n): AAn>= bar(n) text( ) (L-epsilon)a_n<=a_(n+1)<=L $
iterando si ottiene che $AAn>=bar(n)$:
$a_(n+1)>=(L-epsilon)^(n-bar(n)+1)a_bar(n)$ e da qui ho qualche problema a procedere. Un possibile modo è:
metto tutto sotto radice n+1-esima: $root(n+1)(a_(n+1))>= (L-epsilon) root(n+1)(a_bar(n)/(L-epsilon)^bar(n))$
da qui procedo o in 1 o in 2:
1) siccome i termini con la n barra sono fissi per n qualsiasi maggiore di n barra significa che n tende a infinito e quindi :
$ (L-epsilon) root(n+1)(a_bar(n)/(L-epsilon)^bar(n)) \rightarrow (L-epsilon)$ e da qui ho praticamente finito perché poi ho che
$text(liminf )root(n+1)(a_(n+1))+epsilon<= root (n+1)(a_n+1) <= (L-epsilon) text( )AAn>=bar(n)$
oppure
2) divido entrambi i membri per $root(n+1)(a_bar(n)/(L-epsilon)^bar(n))$:
$root(n+1)(((a_(n+1)(L-epsilon)^bar(n))/a_bar(n)))>=(L-epsilon) text( ) AAn>=bar(n)$
Ora per definizione di liminf: SIa $M = text(liminf )(root(n+1)(a_(n+1)))$ $iff AAepsilon >0 text( ) EEbar(m): AAn>= bar(m) text( ) (M+epsilon)a_n>=a_(n+1) $ da ciò scelgo un $bar(m)$ tale che :
$(M+epsilon)>= root(n+1)(((a_(n+1)(L-epsilon)^bar(n))/a_bar(n)))>=(L-epsilon) text( ) AAn>=bar(n),bar(m)$ e così ho concluso. Non so ma immagino ci siamo molte cose non giustificate adeguatamente. Potreste aiutarmi a trovarle? Grazie!
Risposte
Mi sembra che l'idea sia corretta, anche se non ho seguito i dettagli.
Riassumo brevemente qui sotto.
Sia \(L := \liminf_n \frac{a_{n+1}}{a_n}\), e supponiamo \(L < +\infty\) (il caso \(L=+\infty\) andrà trattato separatamente).
Se \(L=0\) la prima disuguaglianza è ovvia; possiamo dunque supporre \(L \in (0, +\infty)\).
Sia \( \epsilon \in (0, L)\). Per definizione di \(\liminf\), esiste \(m\in\mathbb{N}\) tale che \(\frac{a_{n+1}}{a_n} \geq L-\epsilon\) per ogni \(n\geq m\), da cui
\[
a_n \geq (L-\epsilon)^{n-m} a_m =: C (L-\epsilon)^n,\qquad
\text{con}\ C := a_m (L-\epsilon)^{-m}.
\]
Di conseguenza \(\sqrt[n]{a_n} \geq (L-\epsilon) \sqrt[n]{C}\), e dunque \(\liminf_n \sqrt[n]{a_n} \geq L-\epsilon\).
La prima disuguaglianza segue dunque dall'arbitrarietà di \(\epsilon\).
Riassumo brevemente qui sotto.
Sia \(L := \liminf_n \frac{a_{n+1}}{a_n}\), e supponiamo \(L < +\infty\) (il caso \(L=+\infty\) andrà trattato separatamente).
Se \(L=0\) la prima disuguaglianza è ovvia; possiamo dunque supporre \(L \in (0, +\infty)\).
Sia \( \epsilon \in (0, L)\). Per definizione di \(\liminf\), esiste \(m\in\mathbb{N}\) tale che \(\frac{a_{n+1}}{a_n} \geq L-\epsilon\) per ogni \(n\geq m\), da cui
\[
a_n \geq (L-\epsilon)^{n-m} a_m =: C (L-\epsilon)^n,\qquad
\text{con}\ C := a_m (L-\epsilon)^{-m}.
\]
Di conseguenza \(\sqrt[n]{a_n} \geq (L-\epsilon) \sqrt[n]{C}\), e dunque \(\liminf_n \sqrt[n]{a_n} \geq L-\epsilon\).
La prima disuguaglianza segue dunque dall'arbitrarietà di \(\epsilon\).
Sto cercando anche io di dimostrare la prima disuguaglianza, ma mi blocco nel punto in cui per n che tende a infinito, (L-ε) per la radice n+1esima tende a (L-ε). Potreste aiutarmi?