Dimostrazione teorema fondamentale calcolo integrale
Salve a tutti ho un problema di dimostrazione per
il teorema fondamentale del calcolo integrale sul mio libro
sia f integrabile secondo riemann in [a,b] fissato $x_o in [a,b]$ la funzione
F(x)= $\int_x_0^xf(t)dt$
e continua in [a,b] e derivabile nei punti di [a,b] f(x) è continua ed in tali punti risulta F'(x)=f(x)
sul libro fa uhn dimostrazione che differisce da molte che ho trovato e volevo sapere se qualcuno mi potesse spiegare i passaggi la riporto come scritta
$|F(X)-F(Y)|=|int_y^xf(t)dt|<=int_y^x|f(t)dt|<= $sup $|f(t)||x-y|)
ok questa si ottiene con le proprietà degli integrali ma perke considero F(x) -F(Y)?
poi dice ch efissato un $epsilon$ preso un intorno I di x_1 tale che per ogni x $in$ I si abbia
$|f(x_1)-f(x)|
$int_(x_1)^xf(t)dt=f(x_1)(x-x_1) $ questo è il teorema della media?
si ha che $|(F(x)-F(x_1))/(x-x_1) - f(x_1)|=|(int_(x_1)^x(f(t)dt)/(x-x_1) - (int_(x_1)^xf(x_1)dt)/(x-x_1))|<=1/(x-x_1)*|int_(x_1)^x(f(t)-f(x_1))|dt<=|(x-x_1)/(x-x_1)epsilon<=epsilon
tutto questo passaggio mi è poco chiaro
me lo sapreste spiegare
grazie
il teorema fondamentale del calcolo integrale sul mio libro
sia f integrabile secondo riemann in [a,b] fissato $x_o in [a,b]$ la funzione
F(x)= $\int_x_0^xf(t)dt$
e continua in [a,b] e derivabile nei punti di [a,b] f(x) è continua ed in tali punti risulta F'(x)=f(x)
sul libro fa uhn dimostrazione che differisce da molte che ho trovato e volevo sapere se qualcuno mi potesse spiegare i passaggi la riporto come scritta
$|F(X)-F(Y)|=|int_y^xf(t)dt|<=int_y^x|f(t)dt|<= $sup $|f(t)||x-y|)
ok questa si ottiene con le proprietà degli integrali ma perke considero F(x) -F(Y)?
poi dice ch efissato un $epsilon$ preso un intorno I di x_1 tale che per ogni x $in$ I si abbia
$|f(x_1)-f(x)|
$int_(x_1)^xf(t)dt=f(x_1)(x-x_1) $ questo è il teorema della media?
si ha che $|(F(x)-F(x_1))/(x-x_1) - f(x_1)|=|(int_(x_1)^x(f(t)dt)/(x-x_1) - (int_(x_1)^xf(x_1)dt)/(x-x_1))|<=1/(x-x_1)*|int_(x_1)^x(f(t)-f(x_1))|dt<=|(x-x_1)/(x-x_1)epsilon<=epsilon
tutto questo passaggio mi è poco chiaro
me lo sapreste spiegare
grazie
Risposte
Una funzione F è continua nel punto y se
$lim_(x->y) F(x) = F(y)$
cioè, preso $\epsilon > 0$ esiste $\delta (\epsilon)$ tale che ,
$|F(x) - F(y)| < \epsilon$ se $|x- y| < \delta (\epsilon)$
Nel tuo caso quindi
$|F(x) - F(y)| = | \int_y^x f(t) dt| <= |Sup {f(t) , t in [x,y]} | \ |x-y| $
questo per le proprietà degli integrali.
Adesso imponi che tutto sia minore di $\epsilon$
$|Sup {f(t) , t in [x,y]} | \ |x-y| < \epsilon$ cioè $ |x-y| < \epsilon / ("sup" f)$
Hai quindi dimostrato che
$|F(x) - F(y)| < \epsilon$ se $ |x-y| < \delta( \epsilon) = \epsilon / ("sup" f)$
cioè che F è continua per ogni y.
Per la derivabilità devi far veder che, fissato $x_1$,
$lim_(x->x_1) (F(x) - F(x_1))/(x-x_1) = f(x_1)$
cioè che preso $\epsilon > 0$ esiste $\delta (\epsilon)$ tale che
$|(F(x) - F(x_1))/(x-x_1) - f(x_1)| < \epsilon $ se $|x - y| < \delta (\epsilon)$
e adesso fai i passaggi del tuo libro, notando che
$\int_(x_1)^x f(x_1) dt= f(x_1) (x - x_1)$
siccome $x_1 $ è una costante e quindi lo è anche $f(x_1)$ quando integri in $t$.
Quindi
$|(F(x) - F(x_1))/(x-x_1) - f(x_1)| = |(\int_(x_1)^x f(t) dt)/(x-x_1) - (\int_(x_1)^x f(x_1) dt)/(x-x_1) | = |\int_(x_1)^x [f(t) - f(x_1)] dt|/|x-x_1| <= (| Sup {f(t) - f(x_1), t in [x_1, x]}| \ |x - x_1|) / |x- x_1| = | Sup {f(t) - f(x_1), t in [x_1, x]}|$
Ora siccome f è continua esiste un $\delta (\epsilon)$ tale che
$|f(x) - f(x_1)| < \epsilon$ se $|x-x_1| < \delta (\epsilon)$
e quindi anche
$| Sup {f(t) - f(x_1), t in [x_1, x]}| < \epsilon$
e quindi hai dimostrato che
$|(F(x) - F(x_1))/(x-x_1) - f(x_1)| < \epsilon$ se $|x-x_1| < \delta (\epsilon)$
e cioè che la funzione integrale è derivabile in ogni punto e la derivata vale f.
Ti ho chiarito la situazione?
$lim_(x->y) F(x) = F(y)$
cioè, preso $\epsilon > 0$ esiste $\delta (\epsilon)$ tale che ,
$|F(x) - F(y)| < \epsilon$ se $|x- y| < \delta (\epsilon)$
Nel tuo caso quindi
$|F(x) - F(y)| = | \int_y^x f(t) dt| <= |Sup {f(t) , t in [x,y]} | \ |x-y| $
questo per le proprietà degli integrali.
Adesso imponi che tutto sia minore di $\epsilon$
$|Sup {f(t) , t in [x,y]} | \ |x-y| < \epsilon$ cioè $ |x-y| < \epsilon / ("sup" f)$
Hai quindi dimostrato che
$|F(x) - F(y)| < \epsilon$ se $ |x-y| < \delta( \epsilon) = \epsilon / ("sup" f)$
cioè che F è continua per ogni y.
Per la derivabilità devi far veder che, fissato $x_1$,
$lim_(x->x_1) (F(x) - F(x_1))/(x-x_1) = f(x_1)$
cioè che preso $\epsilon > 0$ esiste $\delta (\epsilon)$ tale che
$|(F(x) - F(x_1))/(x-x_1) - f(x_1)| < \epsilon $ se $|x - y| < \delta (\epsilon)$
e adesso fai i passaggi del tuo libro, notando che
$\int_(x_1)^x f(x_1) dt= f(x_1) (x - x_1)$
siccome $x_1 $ è una costante e quindi lo è anche $f(x_1)$ quando integri in $t$.
Quindi
$|(F(x) - F(x_1))/(x-x_1) - f(x_1)| = |(\int_(x_1)^x f(t) dt)/(x-x_1) - (\int_(x_1)^x f(x_1) dt)/(x-x_1) | = |\int_(x_1)^x [f(t) - f(x_1)] dt|/|x-x_1| <= (| Sup {f(t) - f(x_1), t in [x_1, x]}| \ |x - x_1|) / |x- x_1| = | Sup {f(t) - f(x_1), t in [x_1, x]}|$
Ora siccome f è continua esiste un $\delta (\epsilon)$ tale che
$|f(x) - f(x_1)| < \epsilon$ se $|x-x_1| < \delta (\epsilon)$
e quindi anche
$| Sup {f(t) - f(x_1), t in [x_1, x]}| < \epsilon$
e quindi hai dimostrato che
$|(F(x) - F(x_1))/(x-x_1) - f(x_1)| < \epsilon$ se $|x-x_1| < \delta (\epsilon)$
e cioè che la funzione integrale è derivabile in ogni punto e la derivata vale f.
Ti ho chiarito la situazione?
"alle.fabbri":
Una funzione F è continua nel punto y se
$lim_(x->y) F(x) = F(y)$
cioè, preso $\epsilon > 0$ esiste $\delta (\epsilon)$ tale che ,
$|F(x) - F(y)| < \epsilon$ se $|x- y| < \delta (\epsilon)$
Nel tuo caso quindi
$|F(x) - F(y)| = | \int_y^x f(t) dt| <= |Sup {f(t) , t in [x,y]} | \ |x-y| $
questo per le proprietà degli integrali.
Adesso imponi che tutto sia minore di $\epsilon$
$|Sup {f(t) , t in [x,y]} | \ |x-y| < \epsilon$ cioè $ |x-y| < \epsilon / ("sup" f)$
Hai quindi dimostrato che
$|F(x) - F(y)| < \epsilon$ se $ |x-y| < \delta( \epsilon) = \epsilon / ("sup" f)$
cioè che F è continua per ogni y.
Per la derivabilità devi far veder che, fissato $x_1$,
$lim_(x->x_1) (F(x) - F(x_1))/(x-x_1) = f(x_1)$
cioè che preso $\epsilon > 0$ esiste $\delta (\epsilon)$ tale che
$|(F(x) - F(x_1))/(x-x_1) - f(x_1)| < \epsilon $ se $|x - y| < \delta (\epsilon)$
e adesso fai i passaggi del tuo libro, notando che
$\int_(x_1)^x f(x_1) dt= f(x_1) (x - x_1)$
siccome $x_1 $ è una costante e quindi lo è anche $f(x_1)$ quando integri in $t$.
Quindi
$|(F(x) - F(x_1))/(x-x_1) - f(x_1)| = |(\int_(x_1)^x f(t) dt)/(x-x_1) - (\int_(x_1)^x f(x_1) dt)/(x-x_1) | = |\int_(x_1)^x [f(t) - f(x_1)] dt|/|x-x_1| <= (| Sup {f(t) - f(x_1), t in [x_1, x]}| \ |x - x_1|) / |x- x_1| = | Sup {f(t) - f(x_1), t in [x_1, x]}|$
Ora siccome f è continua esiste un $\delta (\epsilon)$ tale che
$|f(x) - f(x_1)| < \epsilon$ se $|x-x_1| < \delta (\epsilon)$
e quindi anche
$| Sup {f(t) - f(x_1), t in [x_1, x]}| < \epsilon$
e quindi hai dimostrato che
$|(F(x) - F(x_1))/(x-x_1) - f(x_1)| < \epsilon$ se $|x-x_1| < \delta (\epsilon)$
e cioè che la funzione integrale è derivabile in ogni punto e la derivata vale f.
Ti ho chiarito la situazione?
sisi grazie
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