Dimostrazione teorema fondam limite successioni monotone

[Dino 921]

Salve,
sto cercando di dimostrare il teorema fondamentale sul limite delle successioni monotone.
Esso è articolato in 3 punti:
Ogni successione monotona è regolare. Inoltre:
1) se la successione è crescente, allora il suo limite coincide con il suo elemento superiore;
2) se la successione è decrescente, allora il suo limite coincide con il suo elemento inferiore;
3) se la successione è monotona limitata, allora essa converge.
I primi due punti li ho dimostrati senza alcun problema; il terzo punto invece mi ha fatto sorgere un dubbio:
dire che una succesione $(a_n)_(n in NN)$ è limitata vuol dire che è compresa tra due valori, $l in RR$ e $L in RR$
$l leq a_n leq L$
che sono rispettivamente l'$Inf$ e il $Sup$ della successione.
Ora, nel caso in cui la successione sia crescente per la 1) si ha che $lim(a_n)=L$;
nel caso in cui la successione sia decrescente per la 2) si ha $lim(a_n)=l$.
Dopo tutto ciò la domanda che mi sorge è: ma se la successione può anche essere uguale a $L$ o $l$, come ci dice il fatto che è limitata, non si ha un incongruenza col fatto che $L$ e $l$ siano anche il suo limite?

[Rigel1]

Non so se ho capito la domanda.
Se la successione è contemporaneamente crescente e decrescente, allora è costante, dunque \(\sup_n a_n = \inf_n a_n\).

[Dino 921]

ciao Rigel.. ho risolto da solo ti ringrazio comunque