Dimostrazione teorema esistenza soluzioni eq. differenziali
Salve a tutti, stavo studiando una dimostrazione sull'esistenza di soluzione per l'equazione differenziale $\dot{x}=F(x,t)$ con scarsi risultati... XD
Non riesco ad identificare a capire il nesso logico di un passaggio, molto probabilmente mi manca qualche concetto.
Si consideri l'equazione:
\[x(t)=\xi_{0}+\int_{t_{0}}^{t}F(x(\tau), \tau)d \tau \]
Vi riporto il passaggio incriminato:
\[\begin{gather} x^{(0)}(t)=\xi_{0} \\
x^{(1)}(t)=\xi_{0}+\int_{t_{0}}^{t}F(x^{(0)}(\tau), \tau)d \tau \\
\dots \\
x^{(n)}(t)=\xi_{0}+\int_{t_{0}}^{t}F(x^{(n-1)}(\tau), \tau)d \tau \end{gather} \]
Classico procedimento ricorsivo per la soluzione con limite:
\[\lim_{n \to \infty}x^{(n)}(t)=x(t) \]
Adesso il testo afferma:
L'esistenza, uniformemente in un intervallo $J$ del limite implica la continuità della funzione. L'esistenza e l'uniformità del limite è ottenuta riscrivendolo come:
\[x^{(0)}(t)+\sum_{k=1}^{\infty}(x^{(k)}(t)-x^{(k-1)}(t)) \]
Ed è questo passaggio che non comprendo...
Se volete vedere tutto il testo basta che leggiate le pagine 18,19,20 del libro The Elements of Mechanics del prof. Gallavotti. Reperibile gratuitamente qui: Giovanni Gallavotti - Books.
Grazie anticipatamente!
Non riesco ad identificare a capire il nesso logico di un passaggio, molto probabilmente mi manca qualche concetto.
Si consideri l'equazione:
\[x(t)=\xi_{0}+\int_{t_{0}}^{t}F(x(\tau), \tau)d \tau \]
Vi riporto il passaggio incriminato:
\[\begin{gather} x^{(0)}(t)=\xi_{0} \\
x^{(1)}(t)=\xi_{0}+\int_{t_{0}}^{t}F(x^{(0)}(\tau), \tau)d \tau \\
\dots \\
x^{(n)}(t)=\xi_{0}+\int_{t_{0}}^{t}F(x^{(n-1)}(\tau), \tau)d \tau \end{gather} \]
Classico procedimento ricorsivo per la soluzione con limite:
\[\lim_{n \to \infty}x^{(n)}(t)=x(t) \]
Adesso il testo afferma:
L'esistenza, uniformemente in un intervallo $J$ del limite implica la continuità della funzione. L'esistenza e l'uniformità del limite è ottenuta riscrivendolo come:
\[x^{(0)}(t)+\sum_{k=1}^{\infty}(x^{(k)}(t)-x^{(k-1)}(t)) \]
Ed è questo passaggio che non comprendo...
Se volete vedere tutto il testo basta che leggiate le pagine 18,19,20 del libro The Elements of Mechanics del prof. Gallavotti. Reperibile gratuitamente qui: Giovanni Gallavotti - Books.
Grazie anticipatamente!
Risposte
$x^0+\sum_{k=1}^\infty (x^k-x^{k-1})=x^0+(x^1-x^0)+(x^2-x^1)+(x^3-x^2)+...$
per cui sommando i vari termini quello che ti rimane è $x^\infty$ (anche se è un abuso di notazione, ma credo sia chiaro cosa intendo, no?). Era questo il problema o altro?
per cui sommando i vari termini quello che ti rimane è $x^\infty$ (anche se è un abuso di notazione, ma credo sia chiaro cosa intendo, no?). Era questo il problema o altro?
Grazie!
E' ufficiale: il caldo mi sta rin......nendo!
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