Dimostrazione teorema differenziale totale (semplificata)

[essenza89]

alcuni passaggi di questa dimostrazione non mi sono chiari:

HP:
Sia $A$ un aperto di $cc(R)^n$. Sia $f:A sub cc(R)^n rarr cc(R)$, $f in C^1(A)$
TH:
Allora $f$ è differenziabile in ogni $bar(x) in A$

dim:
PER SEMPLICITA' PRENDO $cc(R)^n = cc(R)^2$ e inoltre dimostro la differenziablilità in $bar(x)=(0,0)$
allora...
devo provare che l'incremento
$f(h,k)-f(0,0) =$ $del_x f(0,0)h + del_y f(0,0)k + R(h,k)$
dove $R(h,k)$ è il resto tale che $lim_(h,k -> 0,0) (R(h,k))/sqrt(h^2+y^2)=0$


primo passo:
scompongo l'ncremento nell'incremento sulle due variabili
$f(h,k)-f(0,0)=f(h,k)-f(h,0)+f(h,0)-f(0,0)$

e fino a qui ok

secondo passo:
analizzo la "seconda" parte dell'incremento:
$f(h,k)-f(h,0)$
per definizione
che $lim_(h-> 0) (f(h,k)-f(h,0))/h = del_x f(0,0) $ da cui si ha che $f(h,k)-f(h,0) = del_x f(0,0)+ o(h) $

è giusto?

terzo passo:
analizzo la "prima" parte dell'incremento (e qui iniziano le mie difficoltà)
$f(h,k)-f(h,0)$
sui miei appunti ho scritto che:
$f(h,k)-f(h,0) =del_y f(h,y_1)k $

e da qui in poi i miei appunti si fanno confusi perchè in effetti non stavo capendo quello che scrivevo.. so solo che a un certo punto bisogna considerare
la funzione di analisi I che $y rarr f(h,y)$ e tenere in conto un punto (per il teorema di Lagrange) che sta tra $0$ e $k$ .. però boh

aiuto

[essenza89]

per favore....