Dimostrazione teorema di Weierstrass
Salve.
Sto studiando la dimostrazione del teorema di Weierstrass dal libro "Analisi Matematica Uno" di Marcellini-Sbordone.
Il teorema (ovviamente) è questo:
Sia $f(x)$ una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$. Allora $f(x)$ assume minimo e massimo in $[a,b]$.
Dimostrazione:
Posto $M=sup {f(x) :$ $x$ $in$ $[a,b]}$, verifichiamo che esiste una successione $x_n$ di punti di $[a,b]$ tale che
$lim_(n->0)f(x_n)$$=M$.
Infatti, se $M=$$+$$oo$, per le proprietà dell'estremo superiore, per ogni $n$$in$$N$ esiste $x_n$$in$$[a,b]$ tale che $f(x_n)>n$ e perciò $f(n_n)->M=$$+$$oo$.
Ecco, non ho capito quale proprietà dell'estremo superiore viene usata.
Allo stesso modo, non ho capito quest'altro passaggio:
Se invece risulta $M<$$+$$oo$, per ogni $n$$in$$N$ esiste $x_n$ in $[a,b]$ tale che
$M-1/n < f(x_n) <= M$
Non ho capito la prima parte della disuguaglianza.
Qualcuno può aiutarmi?
Sto studiando la dimostrazione del teorema di Weierstrass dal libro "Analisi Matematica Uno" di Marcellini-Sbordone.
Il teorema (ovviamente) è questo:
Sia $f(x)$ una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$. Allora $f(x)$ assume minimo e massimo in $[a,b]$.
Dimostrazione:
Posto $M=sup {f(x) :$ $x$ $in$ $[a,b]}$, verifichiamo che esiste una successione $x_n$ di punti di $[a,b]$ tale che
$lim_(n->0)f(x_n)$$=M$.
Infatti, se $M=$$+$$oo$, per le proprietà dell'estremo superiore, per ogni $n$$in$$N$ esiste $x_n$$in$$[a,b]$ tale che $f(x_n)>n$ e perciò $f(n_n)->M=$$+$$oo$.
Ecco, non ho capito quale proprietà dell'estremo superiore viene usata.
Allo stesso modo, non ho capito quest'altro passaggio:
Se invece risulta $M<$$+$$oo$, per ogni $n$$in$$N$ esiste $x_n$ in $[a,b]$ tale che
$M-1/n < f(x_n) <= M$
Non ho capito la prima parte della disuguaglianza.
Qualcuno può aiutarmi?
Risposte
La proprietà che viene usata è parte della caratterizzazione dell'estremo superiore di un insieme di numeri reali.
$AA K > 0 , EE y in { f(x) : x in [a,b]}$ tale che $bar y > K$.
Per l'arbitrarietà di $K$ puoi prendere $K_n = n in NN$ (e, fissato $n$, $EE y_n$) ottenendo così una successione $y_n = f(x_n)$ per cui vale:
$f(x_n) > n$ , $AA n in NN$. Per il teo. del confronto si ha che $f(x_n)$ è costretta a divergere per $n -> +oo$.
La seconda parte utilizza la stessa caratterizzazione (nel caso in cui il superiore sia un numero reale e non $+oo$):
$AA epsilon > 0 , EE y in { f(x) : x in [a,b]}$ tale che $M >= bar y > M - epsilon$.
Prendendo $epsilon = 1/n$ costruisci una successione di punti $y_n = f(x_n)$...
$AA K > 0 , EE y in { f(x) : x in [a,b]}$ tale che $bar y > K$.
Per l'arbitrarietà di $K$ puoi prendere $K_n = n in NN$ (e, fissato $n$, $EE y_n$) ottenendo così una successione $y_n = f(x_n)$ per cui vale:
$f(x_n) > n$ , $AA n in NN$. Per il teo. del confronto si ha che $f(x_n)$ è costretta a divergere per $n -> +oo$.
La seconda parte utilizza la stessa caratterizzazione (nel caso in cui il superiore sia un numero reale e non $+oo$):
$AA epsilon > 0 , EE y in { f(x) : x in [a,b]}$ tale che $M >= bar y > M - epsilon$.
Prendendo $epsilon = 1/n$ costruisci una successione di punti $y_n = f(x_n)$...
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