Dimostrazione Teorema di Weierstrass

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Buonasera:
sto preparando l'orale di Analisi (Ingegneria Informatica) e mentre riguardavo la prima parte mi sono imbattuto in una dimostrazione del teorema di Weierstrass, credo pensata ad hoc dal docente per inserirla nel libro. Non è molto lunga ma ho delle difficoltà a capire una parte:

$f:[a,b]->RR$ definita e continua in [a,b] ha massimo e minimo

dim
(ipotesi: f ha minimo in $x_0$)

Sia $L:=\text{inf }f(x)_(x in[a,b])$
$AA t>L$ sia $E_(t) :={x in [a,b] | f(x) e $x(t):= \text{inf } E_(t)$, decrescente e limitata inferiormente. Ha quindi $lim_{t \to \L^+}x_(t)=x_0=\text{sup} x(t)$

Si dimostra ora che $x_0$ è un punto di minimo, per assurdo:
1) $x_0 in [a,b]$: se $f(x_0)>L, EE M>0$ e $\delta>0 | f(x)>M, AA x in (x_0-\delta, x_0+\delta)$; in particolare $AA t in (L,M]$ $ E_t$ non conterrebbe nessun punto in $(x_0-\delta, x_0+\delta)$ quindi:
$AAt in (L,M]$ $ o $ $ x(t)<=x_0-\delta$ $ o $ $ x(t)>=x_0+\delta$
Questo è assurdo: $x(t)>=x_0+\delta$ è sempre impossibile per la definizione di $x_0$.
Si avrebbe dunque che $x(t)<=x_0-\delta$ per ogni $t in (L,M]$ e quindi $x_0 = \text{sup}_(t>L) x(t) <= x_0-\delta$ per la decrescenza di $x(t)$, un assurdo.

2) I casi $x_0=a$, $x_0=b$ sono lasciati al lettore.

Allora: per il punto 2 ho pensato che bisogna tirare in ballo il teorema per il limite di funzioni monotone, ma non è quello il problema. Quello che mi risulta ostico è il passaggio in cui si definisce x(t), per quale motivo dice che è decrescente?

Probabilmente mi perdo in un bicchier d'acqua, fra l'altro la parte in cui dimostra per assurdo l'ho capita ma mi rimane sempre quel dubbio..

[Emar1]

Poniamo $t_2 \ge t_1 > L$. Abbiamo:
\[E_{t_2} = E_{t_1} \cup \{x \in [a,b] \ : \ t_1 \le f(x) < t_2\}\]
e quindi \(E_{t_1} \subseteq E_{t_2}\)
A priori quindi \(\inf E_{t_2} \le \inf E_{t_1}\). Detto in soldoni questo perché aggiungendo più elementi non puoi che "abbassare" l'estremo inferiore.
La funzione \(x(t) := \inf E_t\) è allora decrescente.

Ti trovi?

[4042]

Adesso sì, grazie infinite!