Dimostrazione teorema di unicità del limite

[alexstorm]

Il prof di matematica ha dimostrato il teorema di unicità del limite scrivendo \(\displaystyle |l_2-l_1 |=|l_2-f(x)+f(x)-l_1 |=|f(x)-l_2 |+|f(x)-l_1 | \) (disuguaglianza triangolare), da cui, poichè \(\displaystyle |f(x)-l_2 |<ε\) e \(\displaystyle |f(x)-l_2 |<ε\) risulta che \(\displaystyle |l_2-l_1 |<2ε \).
Poi ha scritto \(\displaystyle δ=min(δ',δ'' ) \).
Vorrei che qualcuno di buona volontà mi spiegasse questo teorema e in particolare mi spieghi a cosa serve porre \(\displaystyle δ=min(δ',δ'' ) \) e come si arriva da \(\displaystyle |l_2-l_1 |<2ε \) a dire che \(\displaystyle |l_2-l_1 |=0 \). Vi prego di non reindirizzarmi ad altre discussioni, perchè le ho già letto (credo tutte), ma di spiegarmi il teorema, se potete, in modo formale e anche a parole vostre. Non sono un genio in matematica (come ben notate), ma ci metto tutta la buona volontà per capirla. Grazie in anticipo

[Paolo902]

"Roxas94": [...] in particolare mi spieghi a cosa serve porre \(\displaystyle δ=min(δ',δ'' ) \)

Serve per fare in modo che valgano entrambe le disuguaglianze \(\vert f(x)-l_1\vert <\varepsilon\) (che è verificata per definizione di limite in un intorno bucato di $x_0$ di raggio \(\delta^{\prime} \)) e \(\vert f(x)-l_2\vert <\varepsilon\) (che è verificata sempre per definizione di limite in un intorno bucato di $x_0$ di raggio \(\delta^{\prime\prime} \)). Se prendi un $\delta$ più piccolo di entrambi, sei sicuro che valgano entrambe (un disegnino chiarirà senz'altro la situazione).

"Roxas94": [...] e come si arriva da \(\displaystyle |l_2-l_1 |<2ε \) a dire che \(\displaystyle |l_2-l_1 |=0 \).

Questo è molto semplice: se un numero reale non negativo $r$ è tale che per ogni $\varepsilon>0$ si ha $r < \varepsilon$ allora necessariamente $r=0$. Puoi provare a dimostrare questa piccola proposizione per esercizio. E ovviamente, se dovessi avere ancora dubbi, siamo qui.

P.S. Benvenut* tra noi.

[alexstorm]

grazie mille