Dimostrazione teorema di Taylor in $RR^2$
Salve,
come da titolo ho un problema con la dimostrazione (è una cosa veloce.. non abbiate paura ... xDD) , dunque:
sia f(x,y) di classe $C^2$ in un aperto A
essendo A aperto esiste un intorno del punto $I (x_0 , y_0)$ tutto contenuto in A
se prendo h, k sufficientemente piccoli, e sia $t in (0,1)$ : $ (x_0 + th, y_0 + tk) in I $
considero $ F(t)=f(x_0 + th, y_0 + tk) $
calcolo F' e F'' utilizzando il teorema di derivazione della f composta e il teorema di Schwarz.... fin qua ok
Poi dice:
lo sviluppo di taylor di punto iniziale l'origine con il resto di lagrange è $F(t)= F(0)+F'(0)t+ t^2 F'' (\theta)/2$
dove $\theta in (0,t) sub (0,1)$
--> $F(1)= F(0)+F'(0)+ F'' (\theta)/2$
Non ho capito perchè usa $\theta$ e che c'entra F(1) ...
grazie....
come da titolo ho un problema con la dimostrazione (è una cosa veloce.. non abbiate paura ... xDD) , dunque:
sia f(x,y) di classe $C^2$ in un aperto A
essendo A aperto esiste un intorno del punto $I (x_0 , y_0)$ tutto contenuto in A
se prendo h, k sufficientemente piccoli, e sia $t in (0,1)$ : $ (x_0 + th, y_0 + tk) in I $
considero $ F(t)=f(x_0 + th, y_0 + tk) $
calcolo F' e F'' utilizzando il teorema di derivazione della f composta e il teorema di Schwarz.... fin qua ok
Poi dice:
lo sviluppo di taylor di punto iniziale l'origine con il resto di lagrange è $F(t)= F(0)+F'(0)t+ t^2 F'' (\theta)/2$
dove $\theta in (0,t) sub (0,1)$
--> $F(1)= F(0)+F'(0)+ F'' (\theta)/2$
Non ho capito perchè usa $\theta$ e che c'entra F(1) ...
grazie....
Risposte
$theta$ è il punto nell'intervallo $(0,t) \subset (0,1)$ relativo al resto di Lagrange, mentre si pone $t = 1$ per avere $F(1) = f(x_0 + h , y_0 + k )$ ed ottenere la formula di Taylor che stavi cercando...
ok, mi son rivista la definizione di resto di Lagrange e hai ragione per theta...
anche per t=1 credo d'aver capito,
io pensavo invece che bisognasse porre t=0 (dunque F(0) ) per avere lo sviluppo nell'origine ... ma in realtà così facendo otterrei il valore della funzione in quel punto e non la sua approssimazione, giusto?
scusatemi se approfitto un pò del vostro tempo, ma ho un altro "atroce" ( xDD ) dubbio:
data la funzione $f(x,y)= x y^(1/2) /( x^2 + y ^2)$
1) dominio: $A={(x,y): y<= 0 } $\ ${(0,0) } $
2)segno: dipende da x
3) limiti:
-a): limite per (x,y)-->(0,0) è oo (non metto + o - infinito perchè R^2 non è uno spazio ordinato)
-b): limite per x--> oo : per passare in coordinate polari impongo che 1/x=t e r=1\y e ottengo oo
4) il gradiente di annulla solo in (0,0) dunque non ci sono estremanti
è giusto?
anche per t=1 credo d'aver capito,
io pensavo invece che bisognasse porre t=0 (dunque F(0) ) per avere lo sviluppo nell'origine ... ma in realtà così facendo otterrei il valore della funzione in quel punto e non la sua approssimazione, giusto?
scusatemi se approfitto un pò del vostro tempo, ma ho un altro "atroce" ( xDD ) dubbio:
data la funzione $f(x,y)= x y^(1/2) /( x^2 + y ^2)$
1) dominio: $A={(x,y): y<= 0 } $\ ${(0,0) } $
2)segno: dipende da x
3) limiti:
-a): limite per (x,y)-->(0,0) è oo (non metto + o - infinito perchè R^2 non è uno spazio ordinato)
-b): limite per x--> oo : per passare in coordinate polari impongo che 1/x=t e r=1\y e ottengo oo
4) il gradiente di annulla solo in (0,0) dunque non ci sono estremanti
è giusto?
"ing.cane":
io pensavo invece che bisognasse porre t=0 (dunque F(0) ) per avere lo sviluppo nell'origine ... ma in realtà così facendo otterrei il valore della funzione in quel punto e non la sua approssimazione, giusto?
Più che altro ottieni $F(0) = F(0)$, cosa che già sapevi.
"ing.cane":
1) dominio: $A={(x,y): y<= 0 } $\ ${(0,0) } $
2)segno: dipende da x
3) limiti:
-a): limite per (x,y)-->(0,0) è oo (non metto + o - infinito perchè R^2 non è uno spazio ordinato)
-b): limite per x--> oo : per passare in coordinate polari impongo che 1/x=t e r=1\y e ottengo oo
4) il gradiente di annulla solo in (0,0) dunque non ci sono estremanti
Ad occhio vedo qualche imprecisione:
1) Spero sia solo una svista, ma per il dominio è $y >= 0$ e non $y <= 0$.
3a) Il codominio è $RR$, non $RR^2$.
la ringrazio = )
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo