Dimostrazione Teorema di Schwarz
Salve a tutti, non mi sono chiari alcuni concetti della dimostrazione del Teorema di Schwarz sulle derivate parziali seconde miste.
- Nelle ipotesi, almeno per come l'ha enunciato la mia professoressa, si parla di derivabilità e continuità delle derivate parziali seconde miste in un punto generico $ (x_0,y_0)\inA $ aperto. Nella dimostrazione, prendiamo due punti generici $ x > x_0 $ e $ y > y_0 $. Ma non dovremmo considerare, allora, derivabilità e continuità in un intorno generico $ I_\delta(x_0,y_0) $, poiché successivamente applichiamo Lagrange nell'intervallo $ (x_0,x) $ e $ (y_0,y) $? Inoltre, per il Teorema di Lagrange l'intervallo che consideriamo è aperto, quindi i nostri punti $ x_1,y_1,x_2,y_2 $ si trovano in $ (x_0,x) $ e $ (y_0,y) $, però quando passiamo al limite, consideriamo l'intervallo chiuso, in modo tale che - per $ (x,y)->(x_0,y_0) $ - anche i punti $ (x_1,y_1)->(x_0,y_0) $ e $ (x_2,y_2)->(x_0,y_0) $, quindi l'intervallo è da considerare chiuso o aperto?
- Ultima questione, nella dimostrazione consideriamo funzioni nella sola variabile $ x $ o $ y $. È sempre possibile passare da funzioni a due variabili a funzioni dove consideriamo una sola variabile? È come se stessimo bloccando la seconda variabile, muovendoci lungo la direzione dell'asse di quest'ultima?
- Nelle ipotesi, almeno per come l'ha enunciato la mia professoressa, si parla di derivabilità e continuità delle derivate parziali seconde miste in un punto generico $ (x_0,y_0)\inA $ aperto. Nella dimostrazione, prendiamo due punti generici $ x > x_0 $ e $ y > y_0 $. Ma non dovremmo considerare, allora, derivabilità e continuità in un intorno generico $ I_\delta(x_0,y_0) $, poiché successivamente applichiamo Lagrange nell'intervallo $ (x_0,x) $ e $ (y_0,y) $? Inoltre, per il Teorema di Lagrange l'intervallo che consideriamo è aperto, quindi i nostri punti $ x_1,y_1,x_2,y_2 $ si trovano in $ (x_0,x) $ e $ (y_0,y) $, però quando passiamo al limite, consideriamo l'intervallo chiuso, in modo tale che - per $ (x,y)->(x_0,y_0) $ - anche i punti $ (x_1,y_1)->(x_0,y_0) $ e $ (x_2,y_2)->(x_0,y_0) $, quindi l'intervallo è da considerare chiuso o aperto?
- Ultima questione, nella dimostrazione consideriamo funzioni nella sola variabile $ x $ o $ y $. È sempre possibile passare da funzioni a due variabili a funzioni dove consideriamo una sola variabile? È come se stessimo bloccando la seconda variabile, muovendoci lungo la direzione dell'asse di quest'ultima?
Risposte
"DeSkyno18":
Ma non dovremmo considerare, allora, derivabilità e continuità in un intorno generico $ I_\delta(x_0,y_0) $, poiché successivamente applichiamo Lagrange nell'intervallo $ (x_0,x) $ e $ (y_0,y) $?
Si, dovresti considerare un intorno aperto rettangolare o circolare (in generale andrebbe bene che sia convesso), e prendere $(x,y)$ nell'intorno, così non hai problemi.
- Ultima questione, nella dimostrazione consideriamo funzioni nella sola variabile $ x $ o $ y $. È sempre possibile passare da funzioni a due variabili a funzioni dove consideriamo una sola variabile? È come se stessimo bloccando la seconda variabile, muovendoci lungo la direzione dell'asse di quest'ultima?
Non ho capito cosa intendi.
"otta96":
Si, dovresti considerare un intorno aperto rettangolare o circolare (in generale andrebbe bene che sia convesso), e prendere (x,y) nell'intorno, così non hai problemi.
Perfetto, grazie mille.
"otta96":
Non ho capito cosa intendi.
Nella dimostrazione del teorema, consideriamo funzioni del tipo $ f(x_0,y) $ con $ x_0 $ fissato e $ y $ variabile, e applichiamo il teorema di Lagrange nell'intervallo $ (y_0,y) $ (facendo poi l'analogo anche per $ x $). Quello che mi chiedevo è se è sempre possibile congelare una delle due variabili (es. $ x $) e considerare la funzione nella sola variabile $ y $.
Inoltre, nell'applicazione del teorema consideriamo punti interni all'intervallo. Successivamente, però, facciamo tendere i punti presi per costruzione $ x $ e $ y $ al punto iniziale $ (x_0,y_0) $, in modo tale che anche i punti interni $ x_1,x_2,y_1,y_2 $ presi nell'applicazione di Lagrange tendano a $ (x_0,y_0) $. Allora, non dovremmo considerare l'intervallo chiuso $ [y_0,y] $ invece di quello aperto?
Si certo che puoi tenere fissa una variabile, inoltre l'intervallo lo prendi aperto perchè il teorema di Lagrange ti dice che il punto della tesi è interno, ma l'intervallo è chiuso nelle ipotesi.
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