Dimostrazione teorema di Dirichelt

[Aletzunny1]

( Teorema di Dirichlet ) Una serie converge incondizionatamente se e solo se converge assolutamente.
$[$ Se ciò non accade `e possibile riordinare gli elementi della serie in modo
da cambiare il carattere della serie, e anche in modo da ottenere una serie
convergente ad un qualsiasi numero assegnato $c$, o divergente a $+infty$ oppure a $-infty$ $]$

sto cercando la dimostrazione della sezione tra $[... ]$ soprattutto per i casi di $+infty$ e $-infty$ ma online non riesco a trovarla e neppur sul testo consigliato per il corso di analisi 1( Analisi Matematica 1 E.giusti).

Qualcuno potrebbe aiutarmi?
grazie

[solaàl]

https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Riemann-Dini

( https://en.wikipedia.org/wiki/Stigler%2 ... of_eponymy )

[Aletzunny1]

"solaàl":https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Riemann-Dini

( https://en.wikipedia.org/wiki/Stigler%2 ... of_eponymy )

Grazie...questa dimostrazione è simile alla dimostrazione che ha accennato il mio Professore tuttavia ne cercavo una per i casi $+infty$ e $-infty$ perché onestamente non ho capito come dimostrarla in quei 2 casi.

[dissonance]

Però se hai capito davvero la dimostrazione per il caso finito non dovresti avere problemi ad adattarla al caso infinito...

[Aletzunny1]

"dissonance":Però se hai capito davvero la dimostrazione per il caso finito non dovresti avere problemi ad adattarla al caso infinito...

Il caso finito l'ho capito abbastanza con il metodo spiegato dal mio prof, che per le mie conoscenze è simile a quello di Wikipedia, ma mi pare poco adatto per adattarlo a casi infiniti

[dissonance]

E invece non è poco adatto, te lo dico io. Spiega un po' il "metodo del tuo prof", vediamo come lo possiamo adattare.

[Aletzunny1]

Sia $\sum_{n=1}^(+infty) a_n$ una serie convergente ma non assolutamente convergente.

Poniamo $p_n=\{(a_n se a_n>0),(0 se a_n<=0):}$

e $q_n=\{(0 se a_n>=0),(a_n se a_n<0):}$

Deve essere che entrambe divergono

$\sum_{n=1}^(+infty) p_n=+infty$

$\sum_{n=1}^(+infty) q_n=-infty$

Mostriamo che scelto $c in RR$ si può trovare una permutazione $sigma$ di $NN$ tale che $\sum_{k=1}^(+infty) a_sigma(k)=c$

Poichè $\sum_{k=1}^(+infty) p_k=+infty$ esiste un primo $n_1$ tale che $\sum_{k=1}^(n_1) p_n >c$;

poichè $\sum_{n=1}^(+infty) q_n=-infty$

esite un primo $m_1$ tale che $\sum_{k=1}^(n_1) p_k$ $+$ $\sum_{k=1}^(m_1) q_k$ $

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[dissonance]

Come prevedevo, non hai davvero capito questa dimostrazione. Questo è solo il primo passo. Ora devi continuare questa iterazione. Se riesci a capire, ma a capire veramente, il caso di \(c\) finita, o anche solo il caso \(c=0\), poi non avrai nessun problema a dimostrare il caso \(c=\pm \infty\).

[Aletzunny1]

"dissonance":Come prevedevo, non hai davvero capito questa dimostrazione. Questo è solo il primo passo. Ora devi continuare questa iterazione. Se riesci a capire, ma a capire veramente, il caso di \(c\) finita, o anche solo il caso \(c=0\), poi non avrai nessun problema a dimostrare il caso \(c=\pm \infty\).

Ma teoricamente così la dimostrazione per $c in RR$ dovrebbe essere finita per come è stata detta a lezione.

E fino a qui mi pareva di averla capita...

[dissonance]

Scrivi per bene tutto. Qual è la definizione di limite? Ci devono essere \(\epsilon\) e \(N\) grandi, dove sono nella tua dimostrazione? Non riesci a renderti conto che il tuo svolgimento è incompleto?

Assumi \(c=0\). Non c'è nessuna perdita di generalità e ti semplifica un po' la vita.

[Aletzunny1]

"dissonance":Scrivi per bene tutto. Qual è la definizione di limite? Ci devono essere \(\epsilon\) e \(N\) grandi, dove sono nella tua dimostrazione? Non riesci a renderti conto che il tuo svolgimento è incompleto?

Assumi \(c=0\). Non c'è nessuna perdita di generalità e ti semplifica un po' la vita.

Onestamente fino a lì ero arrivato. Adesso non sto capendo, e ti sarei grato se mi aiutassi, perché sia incompleta e come adattarla al caso infinito.

Per definizione di limite conosco che $a_n ->l$ se $AA epsilon >0$ esiste $N$ tale che $AA n>=N$ si ha che $l-epsilon

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[dissonance]

Supponi \(c=0\). Devi costruire una permutazione \(\sigma\colon \mathbb N\to \mathbb N\) tale che
\[
S_n:=\sum_{k=1}^n a_{\sigma(k)}\]
è tale che per ogni \(\epsilon >0\) esiste \(N\in\mathbb N\) tale che \(|S_n|\le \epsilon\) per ogni \(n\ge N\).

Ok, questa è la teoria. Bisogna però capire cosa davvero significhino queste formule strane. "Permutazione", che è questa roba?

Per capire, fissiamo \(\epsilon>0\) e vediamo cosa vogliamo fare. Come hai ben capito, dividendo \(a_n\) in parte positiva \(a_n^+\) e negativa \(a_n^-\), cosicché
\[
a_n=a_n^+-a_n^-, \]
si deve avere che
\[\sum a_n^+ = \sum a_n^-=\infty,\]
perché altrimenti la serie sarebbe assolutamente convergente, oppure divergente a \(+\infty\) o a \(-\infty\).

Adesso andiamo a vedere come disporre \((a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, \ldots)\) in modo tale che la somma dei primi \(N\) numeri sia un numerino sempre più piccino al crescere di \(N\). Questo si fa in modo algoritmico. Consideriamo \(a_1\) e definiamo \(\sigma(1)=1\); questo è il passo base. Se \(a_1=0\), non facciamo nulla. Se \(a_1>0\), consideriamo \(a_2\). E' positivo o nullo? Buttiamolo via e passiamo ad \(a_3\). Ripetiamo. E' negativo? Bene, ce lo teniamo. Ora consideriamo \(a_1+a_2\), che adesso sarà un numero più piccolo di \(a_1\). E' ancora positivo? Ripetiamo il procedimento, sommando un altro termine negativo. Andiamo avanti così finché la somma \(S_m=a_1+a_{\sigma(2)}+a_{\sigma(3)}+\ldots + a_{\sigma(m)}\) non diventa negativa. Possiamo farlo, perché la serie delle parti negative diverge.

Ora però abbiamo il problema opposto, la somma è negativa e vogliamo sommarle dei numeri positivi, cosicché diventi più piccina in valore assoluto. Allora scegliamo degli \(a_n\), con \(n>\sigma(m)\), positivi, e sommiamoli a \(S_m\). Anche qui, sommando termini positivi prima o poi riusciremo a rendere \(S_m+ a_{\sigma(m+1)}+\ldots+a_{\sigma(m+h)}\) positivo. Chiamiamo \(S_{m+h}\) questa nuova somma. Ripetiamo.

Questo algoritmo produce una serie che converge a \(0\). Questa spiegazione è sommaria, ma è giusto per parlare, per la dimostrazione formale vai a vedere il libro di testo. La cosa importante, che voglio sottolineare varie volte, è il carattere algoritmico di questa dimostrazione.

[Aletzunny1]

Così mi sembra di averla capita abbastanza per il caso finito.
Perchè a questo punto potrei scegliere le serie in modo che convergano a un certo $c in RR$ giusto? Infatti sommerò le parti positive della serie fino a che la somma tra la parte positiva e negativa arrivi al $c$ scelto giusto?

Ora però rimango in dubbio per il caso $+infty$ e $-infty$?
Posso applicare questo ragionamento ancora?

[dissonance]

Certo, se \(c\ne 0\) il discorso è essenzialmente lo stesso, usi \(c\) come soglia laddove prima abbiamo usato \(0\).

Quanto al caso infinito, è sostanzialmente sempre lo stesso discorso, solo che adesso devo proprio scappare.

[Aletzunny1]

"dissonance":Certo, se \(c\ne 0\) il discorso è essenzialmente lo stesso, usi \(c\) come soglia laddove prima abbiamo usato \(0\).

Quanto al caso infinito, è sostanzialmente sempre lo stesso discorso, solo che adesso devo proprio scappare.

come da te consigliato, che libro di testo posso utilizzare per trovare la dimostrazione corretta?
sul Giusti non c'è.
grazie

[dissonance]

Prova a dare un'occhiata a Wikipedia, non mi sembra mal fatto:

https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_series_theorem