Dimostrazione teorema di derivabilità integrale

[Megan00b]

Ho provato a dimostrare il teorema che segue e vorrei sapere se ho fatto bene.

Sia $(X,A,mu)$ spazio di misura, $f:[0,T] times X to RR$. Se:
1) $AA t in [0,T] f(t,*):X to RR $ è misurabile
2) Per $mu$-quasi ogni $x in X\ f(*,x):\ [0,T] to RR$ è $C^1$
3) $EE g in L^1(X),\ t_0 in [0,T]$ tale che $AA t in [0,T]\ \ |f(t_0,x)|+|partial/(partialt)f(t,x)|<=g(x)$

Allora la funzione $t \mapsto int_X f(t,x) d mu$ è $C^1$ e la sua derivata é
$t \mapsto int_X partial/(partial t)f(t,x) d mu$


Io ho fatto così:

1) Verifico che la funzione $t \mapsto int_X f(t,x) d mu$ è finita per ogni t (così da poterne fare la derivata) ovvero che f è $L^1$.
Scelto un $t in [0,T]$ e per q.o. x esiste un valor medio $s in [t,t_0]$ (o $[t_0,t]$) per cui vale:
$|f(t,x)|<=|f(t_0,x)|+|t-t_0||partial/(partial t)f(s,x)|$
che maggiorato brutalmente è minoreouguale di $(1+T)g(x)$. Dunque f è in $L^1$.

2) Verifico che la funzione $h_t(x) = partial/(partial t)f(t,x)$ è misurabile per ogni t.
Semplicemente $h_t(x)=lim (f(t+1/n,x)-f(t,x))/(1/n)=lim g_n(x)$. Poichè ogni $g_n$ è misurabile il limite è misurabile.

3) Verifico che posso <>.
Dato che $AA t h_t= lim g_n$ puntualmente e che $AA n\ g_n(x)=(f(t+1/n,x)-f(t,x))/(1/n)=partial/(partial t)f(s,x)$ con $s in [t,t+1/n]$ allora |g_n(x)|<=g(x) per ogni n.
Dunque le $g_n$ formano una successione che converge puntualmente ad $h_t$ in modo dominato e per Lebesgue vi convergono anche in $||*||_1$: Dunque:
$lim int_X g_n d mu = int_X lim g_n d mu$
A sinistra per linearità dell'integrale ottengo la derivata rispetto a t dell'integrale di f. A destra dentro l'integrale ottengo la derivata parziale rispetto a t di f e questo conclude la dimostrazione.

Può andare bene? Grazie.

[fu^2]

una sciochezza, forse mi è sfuggito, però tu hai fatto vedere che $F(t)=int_Xf(x,t)dmu$ è derivabile in un punto $t\in [0,T]$.

Allora perchè ${partial}/{partial t}F(t)$ è continua su $[0,T]$?. Ti manca un altro limite sotto il segno di integrale usando la funzione ${partial}/{partial t}f(x,t)$ per il resto mi pare possa andare, salvo possibili sviste di lettura.

[Megan00b]

...nata sotto il segno
...nata sotto il segno di integraleeee....

E a parte questa dimostrazione pratica di come possa ridursi male un giovane prestante di bell'aspetto e mediamente intelligente studiando analisi funzionale direi che ho dimenticato di scrivere che la continuità della derivata (e dunque il $C^1$) la scarico sul teorema di continuità dell'integrale che ho dimostrato subito prima e che effettivamente è un passaggio al limite sotto integrale.
Grazie fu^2. Buona serata a tutti.