Dimostrazione Teorema di De l'Hopital
A lezione mi è stata data questa dimostrazione del Teorema di De l'Hopital.
Non capisco però come fa ad affermare che viene mantenuta la continuità nella definizione di $f_1,g_1$, ovvero aggiungendo un punto.
Siano date due funzioni $f,g: I \to RR$ con $I=]x_0,\beta[ , \beta\in RR' , \beta>x_0$ aventi $lim_(x\tox_0)(f(x))/(g(x))sim0/0 \text{oppure} lim_(x\tox_0)|(f(x))/(g(x))|sim\infty/\infty$. Si definiscono $f_1,g_1: [x_0,\beta[ \to RR$ le funzioni tali che:
$f_1(x)={(0,if x=x_0),(f(x),if x>x_0):}$
$g_1(x)={(0,if x=x_0),(g(x),if x>x_0):}$
Allora abbiamo prolungato la continuità delle funzioni date nel punto $x_0$, ovvero $f_1,g_1\inC([x_0,\beta[,RR)$
Ora, $\forall x \in I \exists y \in ] x_0 , x [ \text{tale che} (f_1(x)-f_1(x_0))/(g_1(x)-g_1(x_0))=(f_1'(y))/(g_1'(y))$ e inoltre $(f_1'(y))/(g_1'(y))=(f_1(x)-f_1(x_0))/(g_1(x)-g_1(x_0))=(f_1(x))/(g_1(x))=(f(x))/(g(x))$. Allora $lim_((x\tox_0),(y\tox_0))(f(x))/(g(x))=(f'(y))/(g'(y))=\lambda\in RR$
Non capisco però come fa ad affermare che viene mantenuta la continuità nella definizione di $f_1,g_1$, ovvero aggiungendo un punto.
Risposte
La dimostrazione di solito è fatta nel caso finito, quindi hai che per ipotesi $\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}g(x)=0$ e quindi puoi prolungare per continuità...
Quindi posso poi estendere il risultato della dimostrazione all'altro caso considerando $lim_(x\to x_0) (f(x))/(g(x)) sim 0/0 rArr lim_(x\to x_0) |(1/(g(x)))/(1/(f(x)))| sim \infty/\infty$ ?
"Injo":
Quindi posso poi estendere il risultato della dimostrazione all'altro caso considerando $lim_(x\to x_0) (f(x))/(g(x)) sim 0/0 rArr lim_(x\to x_0) |(1/(g(x)))/(1/(f(x)))| sim \infty/\infty$ ?
NO - non funziona (prova e te ne rendi conto). Bisogna mettere in piedi un'altra dimostrazione un po' piu' complicata.
EDIT La mia risposta era riferita al fatto che non si puo' dedurre il caso $\infty/\infty$ dal caso $0/0$ - rileggendo il quesito non mi e' chiaro se questa fosse in effetti la domanda.
Sì, volevo sapere se una volta dimostrato il caso $0/0$ era possibile estendere questa dimostrazione al caso $\infty/\infty$ in virtù della relazione $(f(x))/(g(x))=((1)/(g(x)))/((1)/(f(x)))$.
"Injo":
Sì, volevo sapere se una volta dimostrato il caso $0/0$ era possibile estendere questa dimostrazione al caso $\infty/\infty$ in virtù della relazione $(f(x))/(g(x))=((1)/(g(x)))/((1)/(f(x)))$.
Allora avevo capito bene. Beh se applichi de l'Hospital $0/0$ a $\frac{1/g(x)}{1/f(x)}$ ti ritrovi $\frac{{g'(x)}/g(x)^2}{{f'(x)}/f(x)^2}$, in cui ritrovi il rapporto delle funzioni (addirittura al quadrato). Quindi per
questa strada non si va lontano. Questo tipo di argomento invece funziona se si vuole dedurre il teorema per $x\to\pm\infty$ da quello per $x\to0^\pm$
"Injo":
Quindi posso poi estendere il risultato della dimostrazione all'altro caso considerando $lim_(x\to x_0) (f(x))/(g(x)) sim 0/0 rArr lim_(x\to x_0) |(1/(g(x)))/(1/(f(x)))| sim \infty/\infty$ ?
E' un bell'esercizio di logica. La risposta dipende dall'enunciato del teorema.
Considera le proposizioni seguenti:
$A:lim_(x\to x_0) (f(x))/(g(x))$ $esiste$
$B:lim_(x\to x_0) (f'(x))/(g'(x))$ $esiste$
$C:lim_(x\to x_0) (f(x))/(g(x))= lim_(x\to x_0) (f'(x))/(g'(x))$
Nei trattati di analisi il teorema di de l'Hospital è enunciato in questa forma: $B => A^^C$, pertanto la risposta alla tua domanda è no, se l'unica ipotesi è che esista $lim_(x\to x_0) (f'(x))/(g'(x))$, cioè che sia vera $B$.
Se invece modifichiamo l'enunciato del teorema così: $A^^B => C$, allora la risposta alla tua domanda è sì.
Questa seconda formulazione è meno elegante, perché aggiunge un'ipotesi in più. Tuttavia, i teoremi di de l'Hospital sono soltanto delle regole di calcolo per ottenere $lim_(x\to x_0) (f(x))/(g(x))$; se B è falsa, non sono applicabili né la prima né la seconda formulazione. Se invece A è vera, le due formulazioni dicono la stessa cosa. Tanto vale usare la seconda, che si dimostra in due righe.
Caro Sidereus - incrociamo di nuovo le lame
(tra l'altro ho una risposta mezza scritta sulla questione del $dx$, che probabilmente non riusciro' mai a finire
)
Forse hai travisato la domanda (che peraltro non era molto chiara formulata con quei simboli). La domanda era se fosse possibile dimostrare
il caso $\infty/\infty$ a partire dal caso $0/0$. Secondo me non e' possibile (per i motivi che ho detto in un post precedente) e non capisco il senso della tua risposta
(come mai se de l'Hospital fosse formulato nel secondo modo questo porterebbe a dedurre il caso $\infty/\infty$ dal caso $0/0$?).
La questione e' per certi versi complessa dal punto di vista logico: cosa vuol dire che una proprieta' vera non e' "deducibile da un'altra" - che senso ha per esempio dire che
"2 e' pari" non e' deducibile da "3 e' dispari" ?-, ma non penso che tu avessi in mente questo.
Voglio peraltro obiettare che :
1) all'enunciato di de l'Hospital manca la
$D: \lim_{x\to x_0}f(x)=0, \lim_{x\to x_0}g(x)=0$
per cui la forma classica e' $B\wedge D\Rightarrow A\wedge C$
2) La forma debole $A\wedge B\wedge D\Rightarrow C$ non servirebbe a nulla dato che ogni qualvolta usassimo tale teorema saremmo costretti preventivamente
a dimostrare l'esistenza del limite $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}$ prima di poterlo calcolare.


Forse hai travisato la domanda (che peraltro non era molto chiara formulata con quei simboli). La domanda era se fosse possibile dimostrare
il caso $\infty/\infty$ a partire dal caso $0/0$. Secondo me non e' possibile (per i motivi che ho detto in un post precedente) e non capisco il senso della tua risposta
(come mai se de l'Hospital fosse formulato nel secondo modo questo porterebbe a dedurre il caso $\infty/\infty$ dal caso $0/0$?).
La questione e' per certi versi complessa dal punto di vista logico: cosa vuol dire che una proprieta' vera non e' "deducibile da un'altra" - che senso ha per esempio dire che
"2 e' pari" non e' deducibile da "3 e' dispari" ?-, ma non penso che tu avessi in mente questo.
Voglio peraltro obiettare che :
1) all'enunciato di de l'Hospital manca la
$D: \lim_{x\to x_0}f(x)=0, \lim_{x\to x_0}g(x)=0$
per cui la forma classica e' $B\wedge D\Rightarrow A\wedge C$
2) La forma debole $A\wedge B\wedge D\Rightarrow C$ non servirebbe a nulla dato che ogni qualvolta usassimo tale teorema saremmo costretti preventivamente
a dimostrare l'esistenza del limite $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}$ prima di poterlo calcolare.

"ViciousGoblin":
Caro Sidereus - incrociamo di nuovo le lame(tra l'altro ho una risposta mezza scritta sulla questione del $dx$, che probabilmente non riusciro' mai a finire
)
Caro Vicious Goblin,
è sempre un piacere parlare con te. Per la questione $dx$ non ho nessuna fretta, finisci pure la tua risposta con tutto il tempo che ritieni opportuno dedicarvi (e per il quale ti ringrazio preventivamente)

"ViciousGoblin":
Forse hai travisato la domanda (che peraltro non era molto chiara formulata con quei simboli). La domanda era se fosse possibile dimostrare
il caso $\infty/\infty$ a partire dal caso $0/0$. Secondo me non e' possibile (per i motivi che ho detto in un post precedente) e non capisco il senso della tua risposta
(come mai se de l'Hospital fosse formulato nel secondo modo questo porterebbe a dedurre il caso $\infty/\infty$ dal caso $0/0$?).
Consideriamo il teorema di de l'Hospital (1):
$D: \lim_{x\to x_0}f(x)=0$ $^^$ $\lim_{x\to x_0}g(x)=0$ (la tua obiezione n.1 è accolta)
$A:lim_(x\to x_0) (f(x))/(g(x))$ $esiste$
$B:lim_(x\to x_0) (f'(x))/(g'(x))$ $esiste$
$C:lim_(x\to x_0) (f(x))/(g(x))= lim_(x\to x_0) (f'(x))/(g'(x))$
Allora si dimostra che $D^^B => A^^C$
Ora passiamo al teorema di de l'Hospital (2):
$D: \lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$ $^^$ $\lim_{x\to x_0}g(x)=\infty$
$A:lim_(x\to x_0) (f(x))/(g(x))$ $esiste$
$B:lim_(x\to x_0) (f'(x))/(g'(x))$ $esiste$
$C:lim_(x\to x_0) (f(x))/(g(x))= lim_(x\to x_0) (f'(x))/(g'(x))$
Anche in questo caso si dimostra che $D^^B => A^^C$ (in modo piuttosto complicato).
Se però aggiungiamo l'ipotesi che $A$ sia vera, cioè che $lim_(x\to x_0) (f(x))/(g(x))=c$, dove c è sconosciuto, allora sono soddisfatte tutte le ipotesi del teorema di de l'Hospital (1).
Pertanto:
$lim_(x\to x_0) (f(x))/(g(x))=c=lim_(x\to x_0) ((1/g(x))/(1/(f(x))))=lim_(x\to x_0) ((g'(x))/(g^2(x)))/((f'(x))/(f^2(x)))=lim_(x\to x_0) (f^2(x))/(g^2(x)) * (g'(x))/(f'(x))=c^2 lim_(x\to x_0)(g'(x))/(f'(x))$ e quindi $lim_(x\to x_0)(f'(x))/(g'(x))=c$
Touche' !
Pero' rimane la mia seconda obiezione - il teorema nella forma (2) e' piuttosto debole, ti permette solo di calcolare il limite se sai a priori che esiste.
Comunque effettivamente e' interessante questo punto di vista.
Pero' rimane la mia seconda obiezione - il teorema nella forma (2) e' piuttosto debole, ti permette solo di calcolare il limite se sai a priori che esiste.
Comunque effettivamente e' interessante questo punto di vista.
"ViciousGoblin":
Touche' !
Pero' rimane la mia seconda obiezione - il teorema nella forma (2) e' piuttosto debole, ti permette solo di calcolare il limite se sai a priori che esiste.
Comunque effettivamente e' interessante questo punto di vista.
Non solo è debole, è anche inelegante. Però va bene per i polli ruspanti (cioè i principianti)
