Dimostrazione teorema delle funzioni implicite
Salve a tutti e grazie a coloro che risponderanno...
In classe ci è stata proposta una dimostrazione del teorema delle funzioni implicite che utilizzava il teorema di esistenza degli zeri per le funzioni continue per
ricavare l'esistenza di una funzione definita implicitamente da F(x,y)=0.
Tuttavia è possibile dimostrare il teorema anche attraverso il principio di contrazione. Anzi credo che questo sia l' unico modo per dimostrare il teorema nel caso di funzioni che dipendano da più di due variabili.
Qualcuno mi potrebbe dare un 'idea su come dimostrare il teorema utilizzando il principio delle contrazioni,rimanendo nel caso di due variabili?
Qual è la particolare contrazione da utilizzare?Lo spazio metrico è costituito, come nel caso del teorema di esistenza ed unicità di Cauchy, dalle funzioni continue in un intervallo a valori in un altro intervallo limitato?La distanza utilizzata è sempre quella Lagrangiana?
Grazie a chi vorrà aiutarmi
In classe ci è stata proposta una dimostrazione del teorema delle funzioni implicite che utilizzava il teorema di esistenza degli zeri per le funzioni continue per
ricavare l'esistenza di una funzione definita implicitamente da F(x,y)=0.
Tuttavia è possibile dimostrare il teorema anche attraverso il principio di contrazione. Anzi credo che questo sia l' unico modo per dimostrare il teorema nel caso di funzioni che dipendano da più di due variabili.
Qualcuno mi potrebbe dare un 'idea su come dimostrare il teorema utilizzando il principio delle contrazioni,rimanendo nel caso di due variabili?
Qual è la particolare contrazione da utilizzare?Lo spazio metrico è costituito, come nel caso del teorema di esistenza ed unicità di Cauchy, dalle funzioni continue in un intervallo a valori in un altro intervallo limitato?La distanza utilizzata è sempre quella Lagrangiana?
Grazie a chi vorrà aiutarmi
Risposte
Prova a guardare qui, pagg. 111 e seguenti; l'argomento è trattato nella massima generalità, tuttavia non dovrebbe essere difficile ricondursi al caso particolare.
Anche sul libro di Analisi 2 di Marcellini e Sbordone si trova questa dimostrazione, analogamente al pdf di Gugo ma in un contesto più familiare (spazi $RR^n$). Sempre la stessa storia comunque, anzi io trovo che il contesto più astratto renda le notazioni più comprensibili.
Alternativamente si può usare il lemma delle contrazioni per dimostrare il teorema della funzione inversa (una funzione $C^1$ di uno spazio di Banach in sé che abbia differenziale non singolare in un punto è $C^1$-invertibile in un intorno dello stesso), e poi usare questo teorema per dimostrare il teorema della funzione implicita. L'ultimo passaggio è abbastanza facile, ma è solo perché abbiamo spostato tutta la difficoltà sulla dimostrazione del teorema della funzione inversa. Questo approccio si può trovare sul libro di Analisi 1 di Bramanti - Pagani - Salsa oppure sul Rudin (Principi di analisi matematica), tra gli altri.
Alternativamente si può usare il lemma delle contrazioni per dimostrare il teorema della funzione inversa (una funzione $C^1$ di uno spazio di Banach in sé che abbia differenziale non singolare in un punto è $C^1$-invertibile in un intorno dello stesso), e poi usare questo teorema per dimostrare il teorema della funzione implicita. L'ultimo passaggio è abbastanza facile, ma è solo perché abbiamo spostato tutta la difficoltà sulla dimostrazione del teorema della funzione inversa. Questo approccio si può trovare sul libro di Analisi 1 di Bramanti - Pagani - Salsa oppure sul Rudin (Principi di analisi matematica), tra gli altri.
grazie a tutti per le risposte ed i suggerimenti...
le dispense indicate da gugo82 sono state utilissime
le dispense indicate da gugo82 sono state utilissime
Grazie anche da parte mia per la segnalazione, Gugo.
Mi permetto di segnalare le dispense di analisi 2 di Paolo Acquistapace: a pag 77 c'è la trattazione del teorema in $ RR^n $. Personalmente mi ci sono trovato bene.
Mi permetto di segnalare le dispense di analisi 2 di Paolo Acquistapace: a pag 77 c'è la trattazione del teorema in $ RR^n $. Personalmente mi ci sono trovato bene.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo