Dimostrazione teorema del differenziale totale

[Allee1]

Salve a tutti vi scrivo poichè ho difficoltà a capire la dimostrazione del teorema del differenziale totale:
Sia f una funzione derivabile in un aperto $ A sube R^2 $
Se le derivate parziali $ f_\x,f_\y $ sono continue in un punto $ (x,y)in A $ allora f è differenziabile in (x,y)
Dunque per la dimostrazione considerando la quantità:
$ f(x+h,y+k)-f(x,y) $
Aggiungendo e sottraendo la quantità:
$ f(x,y+k) $
Si ha:
$ f(x+h,y+k)- f(x,y+k)+f(x,y+k)-f(x,y) $
A questo punto definisco le funzioni di una variabile:
$ F(x)=f(x,y+k) $
$ G(y)=f(x,y) $
Considerando le differenze:
$ F(x+h)-F(x)=f(x+h,y+k)-f(x,y+k) $
$ G(y+k)-G(y)=f(x,y+k)-f(x,y) $
A questo punto posso applicare il teorema di Lagrange alle due differenze considerate Per la F(x) considero un punto
$ x_\1in (x,x+h) $ e per la G(y) un punto $ y_\1in (y,y+k) $
Dunque per la F(x) applicando Lagrange:
$ F(x+h)-F(x)=F'(x_\1)(x+h-x)=F'(x_\1)h $
A questo punto riscontro una difficoltà, ovvero dovrei calcolare la derivata parziale rispetto ad x?
in questo caso non otterrei:
$ f_\x(x_\1,y+k)-f_\x(x_\1,y+k) $ ?

Vi ringrazio anticipatamente sperando in una vostra risposta!

[billyballo2123]

Scusa ma non è chiara la domanda.

"Allee":
A questo punto riscontro una difficoltà, ovvero dovrei calcolare la derivata parziale rispetto ad x?

Forse sì o forse no... dipende che cosa vuoi.
Hai concluso che $F(x+h)-F(x)=F'(x_1)h$. SE QUELLO CHE VUOI è calcolare $F'(x_1)$, allora sì, devi calcolare la derivata parziale di $f$ rispetto a $x$ e ottieni $F(x+h)-F(x)=f_x(x_1,y+k)h$. Altrimenti non si capisce cosa vuoi ottenere.

[Allee1]

Innanzitutto ti ringrazio per la risposta.
Si voglio calcolare F'(x1), ma non mi è chiaro come si arriva ad ottenere $ f(x+h,y+k)-f(x,y)=f_\x(x_\1,y+k)h $
Cioè calcolando la derivata parziale non ottengo:
$ F'(x_\1)= f_\x(x_\1,y+k)h -f_\x(x_\1,y+k)h $

[billyballo2123]

Dunque, correggo il mio vecchio messaggio: $F'(x_1)h=f_x(x_1,y+k)h$ e non $F'(x_1)h=f_x(x_1)h$.
Questo per il teorema della derivata composta: scrivendo $F=f\circ g$, con $g(x)=(x,y+k)$, ottieni
\[
F'(x)=\Big[f_x\big(g(x)\big) \ \ f_y\big(g(x)\big)\Big]
\frac{d}{dx}
\begin{bmatrix}
x \\
y+k
\end{bmatrix}
=\big[f_x(x,y+k) \ \ f_y(x,y+k)\big]
\begin{bmatrix}
1 \\
0
\end{bmatrix}
=f_x(x,y+k),
\]
dunque $F'(x_1)h=f_x(x_1,y+k)h$.

[Allee1]

Avevo sbagliato completamente il ragionamento riguardante l'applicazione del teorema di Lagrange. Non so come ringraziarti!

[billyballo2123]

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