Dimostrazione Teorema Cauchy Hadamard - passaggio improprio?

[Mattz1]

Salve a tutti, nella dimostrazione del teorema di Cauchy Hadamard, condizione sufficiente per determinare il raggio di convergenza di una serie di potenze, c'è un passaggio che non mi spiego proprio.

Siamo nel caso in cui il raggio R sia 0. Questo vuol dire che il $\lim_{n \to \infty}root(n)(|a_n|) = l = +infty$ dove an è il termine generale della serie di potenze.

La brevissima dimostrazione considera che per $x!=x_0$ si ha $\lim_{n \to \infty}root(n)(|a_n||(x-x_0)^n|) = l |x-x_0| =+infty$ dimostrando quindi la divergenza col criterio della radice.
Però in realtà non credo si possa concludere così facilmente che la serie diverge perchè quella che dovrei studiare è la convergenza assoluta col criterio della radice, quindi:

$\lim_{n \to \infty}root(n)(|a_n*(x-x_0)^n|) <= \lim_{n \to \infty}root(n)(|a_n||(x-x_0)^n|) = l |x-x_0| =+infty$

ma il fatto che la maggiorazione diverga non implica che la serie stessa diverga assolutamente (e quindi semplicemente).

Mi sembra un passaggio improprio e mi pare strano...dove sbaglio?


edit: penso di aver risolto: la disuguaglianza non ci va affatto, temo di essermela inventata -.-

[Rigel1]

Il criterio della radice (in una delle sue forme), applicato a \(\sum_n c_n\) con \(c_n\geq 0\), dice che se esiste \(\lim_n \sqrt[n]{c_n}\) e tale limite appartiene a \( (1,+\infty]\), allora la serie diverge a \(+\infty\).