Dimostrazione teorema

[ele871]

Ciao a tutti sapreste dimostrarmi questo teorema?
Sia $f(x)$ crescente in $[a,+oo)$, e sia $limx->+oof(x)=L$, allora sup(f(x))=L

[leev]

Ciao,

per l'assurdo:
supponiamo che sup$(f(x)) != L$,
visto che il sup non è sicuramente più piccolo di L ($lim_{x \rightarrow +oo}f(x) = L$ !!!),
allora esiste un $y \in [a,+oo)$ tale che $f(y) > L$,
visto che la funzione è crescente, $\forall x >= y$ $f(x) > L$
facendo tendere $x$ all'infito si allora $lim_{x \rightarrow +oo}f(x) > L$ , contraddizione

[ele871]

grazie mille! Quindi la dimostrazione che L è il minimo dei maggioranti si può dire che deriva direttamente dall'ipotesi e dalla definizione di limite?

[leev]

Sì~; deriva dal fatto che essendo la funzione crescente ed avendo un limite, nessun altro valore può superare questo limite e dunque il sup è uguale al limite.

[ele871]

grazie!!