Dimostrazione Teor. di Dini.
Dopo che il mio ultimo thread non ha avuto molto successo spero che questo topic non segua la fine dell'altro XD
Vi chiedo di seguire per la centesima volta la dim. del teorema di Dini ( sperando che sia giusta) ed aiutarmi a fare quell'ultimo passo che a me non viene.
Dimostrazione
Sapendo per ipotesi che $ F(xo,yo)=0 $ costruisco un intervallo centrato in $Po$ e prendo due punti al suo interno. $P1=(xo,y1)$ e $P2=(xo,y2)$ con $y1 < yo < y2$
L'idea è quella di considerare la variabile $x$ fissa.
Avremo: $F(xo,y) = h(y)$
Per l'ipotesi la F è derivabile e la derivata parziale in y non cambia segno allora : $delF/(dely) (xo,y)=h'(y)>0$ maggiore di zero.
Se $h'(y)>o$ allora è monotona strettamente crescente.
$F(xo,y1)< F(xo,yo) < F(xo,y2)$ sapendo che $F(xo,yo)=0$ allora:
$F(xo,y1)<0$ ed $F(xo,y2)>0$
Ora considero fissa la variabile y mentre la coordinata x la considero variabile in un piccolo intervallo $Ixo$
$F(xo,y1)= s(x)<0$
$F(xo,y2)=s(x)>0$
Esisterà rispettivamente un intervallo $Ixo^(1)$ tale che ogni x preso al suo interno la $s(x) >0$ e un $Ixo^(2)$ tale che ogni x preso al suo interno $s(x)<0$.
Considerando ora un intervallo $Ixo = Ixo^(1) nn Ixo^(2) $ la$ F(xo,y1)<0$ e la$ F(xo,y2)>0$ ...
Qui dovrei dimostrare che per ogni punto $x in Ixo$ esiste un' unica $y*$ tale che $F(x,y*)=0$
Non ne ho idea di come arrivarci ma ho l'impressione che manca pochissimo.
Grazie
Vi chiedo di seguire per la centesima volta la dim. del teorema di Dini ( sperando che sia giusta) ed aiutarmi a fare quell'ultimo passo che a me non viene.
Dimostrazione
Sapendo per ipotesi che $ F(xo,yo)=0 $ costruisco un intervallo centrato in $Po$ e prendo due punti al suo interno. $P1=(xo,y1)$ e $P2=(xo,y2)$ con $y1 < yo < y2$
L'idea è quella di considerare la variabile $x$ fissa.
Avremo: $F(xo,y) = h(y)$
Per l'ipotesi la F è derivabile e la derivata parziale in y non cambia segno allora : $delF/(dely) (xo,y)=h'(y)>0$ maggiore di zero.
Se $h'(y)>o$ allora è monotona strettamente crescente.
$F(xo,y1)< F(xo,yo) < F(xo,y2)$ sapendo che $F(xo,yo)=0$ allora:
$F(xo,y1)<0$ ed $F(xo,y2)>0$
Ora considero fissa la variabile y mentre la coordinata x la considero variabile in un piccolo intervallo $Ixo$
$F(xo,y1)= s(x)<0$
$F(xo,y2)=s(x)>0$
Esisterà rispettivamente un intervallo $Ixo^(1)$ tale che ogni x preso al suo interno la $s(x) >0$ e un $Ixo^(2)$ tale che ogni x preso al suo interno $s(x)<0$.
Considerando ora un intervallo $Ixo = Ixo^(1) nn Ixo^(2) $ la$ F(xo,y1)<0$ e la$ F(xo,y2)>0$ ...
Qui dovrei dimostrare che per ogni punto $x in Ixo$ esiste un' unica $y*$ tale che $F(x,y*)=0$
Non ne ho idea di come arrivarci ma ho l'impressione che manca pochissimo.
Grazie
Risposte
Nessuno mi può aiutare? Grazie
1) Non è vietato aprire un libro 
2) Ti conviene, preliminarmente, considerare un rettangolo $R$ contenuto nel dominio di $F$ e centrato in $(x_0, y_0)$ tale che $\frac{\partial F}{\partial y}(x,y) > 0$ per ogni $(x,y)\in R$ (tale rettangolo esiste per il teorema della permanenza del segno). A questo punto fai tutta la tua costruzione all'interno del rettangolo, in modo tale che le restrizioni $y\mapsto F(x, y)$ siano sempre strettamente monotone crescenti.
2) Ti conviene, preliminarmente, considerare un rettangolo $R$ contenuto nel dominio di $F$ e centrato in $(x_0, y_0)$ tale che $\frac{\partial F}{\partial y}(x,y) > 0$ per ogni $(x,y)\in R$ (tale rettangolo esiste per il teorema della permanenza del segno). A questo punto fai tutta la tua costruzione all'interno del rettangolo, in modo tale che le restrizioni $y\mapsto F(x, y)$ siano sempre strettamente monotone crescenti.
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