Dimostrazione sulle serie di Taylor
Buonasera, purtroppo troppo distrattamente ho preso appunti riguardo un esercizio dimostrativo e vi chiedo di farmi luce
Ora il tutto si basa sulla formula di Taylor con il resto di Lagrange per $f(x)=log(x+1)$
$log(2)=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{(-1)^(n+1)}{n}+R_n(0)$
dove
$R_n(0)=\frac{f^((n+1)) (c)}{(n+1)!}x^(n+1)=(-1)^(n+1)\frac{(n-1)!}{(1+c)^n}$
con $c$ compreso fra $x$ e $0$.
Ora fa vedere che il resto di Lagrange (dopo aver posto $x=1$) è minore del resto della serie ( il quale deve essere $R_n<|a_(n+1)|=\frac{1}{n+1}$) e conclude che $R_n->0$
Ora non mi è chiaro perché bisogna confrontare il resto di Lagrange e quello della serie per concludere. Non tendeva a 0 lo stesso? Nel caso in cui poco vi tornasse, potrei chiedervi una dimostrazione quanto più formale e equivalente possibile?
Ringrazio in anticipo
Provare che risulta $sum_{k=1}^(+\infty) \frac{(-1)^(k+1)}{k}=log(2)$
Ora il tutto si basa sulla formula di Taylor con il resto di Lagrange per $f(x)=log(x+1)$
$log(2)=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{(-1)^(n+1)}{n}+R_n(0)$
dove
$R_n(0)=\frac{f^((n+1)) (c)}{(n+1)!}x^(n+1)=(-1)^(n+1)\frac{(n-1)!}{(1+c)^n}$
con $c$ compreso fra $x$ e $0$.
Ora fa vedere che il resto di Lagrange (dopo aver posto $x=1$) è minore del resto della serie ( il quale deve essere $R_n<|a_(n+1)|=\frac{1}{n+1}$) e conclude che $R_n->0$
Ora non mi è chiaro perché bisogna confrontare il resto di Lagrange e quello della serie per concludere. Non tendeva a 0 lo stesso? Nel caso in cui poco vi tornasse, potrei chiedervi una dimostrazione quanto più formale e equivalente possibile?
Ringrazio in anticipo
Risposte
te ne faccio vedere una equivalente 
considera la serie di funzioni $s_n(x)=sum_(k=0)^(n)x^k$
dalla teoria delle serie di potenze la serie converge totalmente in ogni intervallo $[a,b]subset(-1,1)$ di fatto il raggio di convergenza è banalmente $1$ visto che la successione associata è costantemente $1$
abbiamo dunque abbiamo una successione di funzioni continue che converge uniformemente a una funzione continua e pertanto integrabile e si avrà
$lim_(n->+infty)int_(0)^(t)s_n(x)dx=int_(0)^(t)1/(1-x)dx=-log(1-t)$ con $t in (-1,1)$
e $lim_(n->+infty)int_(0)^(t)s_n(x)dx=lim_(n->+infty)sum_(k=0)^(n)t^(k+1)/(k+1)=lim_(n->+infty)sum_(k=1)^(n)t^k/k$
dunque $sum_(k=1)^(infty)t^k/k=-log(1-t),forall t in (-1,1)$
infine $lim_(t->-1)sum_(k=1)^(infty)t^k/k=lim_(t->-1)-log(1-t)=-log(2)$
l'ultima cosa che vogliamo vedere è se
$lim_(t->-1)lim_(n->+infty)sum_(k=1)^(n)t^k/k=lim_(n->+infty)lim_(t->-1)sum_(k=1)^(n)t^k/k$
ma sicuramente $lim_(t->-1)sum_(k=1)^(n)t^k/k=sum_(k=1)^(n)(-1)^k/k,forallngeq1$
inoltre la serie di funzioni converge uniformemente in $(-1,1)$ perciò possiamo scambiare il limite e ottenere
$sum_(k=1)^(+infty)(-1)^k/k=-log(2)$
considera la serie di funzioni $s_n(x)=sum_(k=0)^(n)x^k$
dalla teoria delle serie di potenze la serie converge totalmente in ogni intervallo $[a,b]subset(-1,1)$ di fatto il raggio di convergenza è banalmente $1$ visto che la successione associata è costantemente $1$
abbiamo dunque abbiamo una successione di funzioni continue che converge uniformemente a una funzione continua e pertanto integrabile e si avrà
$lim_(n->+infty)int_(0)^(t)s_n(x)dx=int_(0)^(t)1/(1-x)dx=-log(1-t)$ con $t in (-1,1)$
e $lim_(n->+infty)int_(0)^(t)s_n(x)dx=lim_(n->+infty)sum_(k=0)^(n)t^(k+1)/(k+1)=lim_(n->+infty)sum_(k=1)^(n)t^k/k$
dunque $sum_(k=1)^(infty)t^k/k=-log(1-t),forall t in (-1,1)$
infine $lim_(t->-1)sum_(k=1)^(infty)t^k/k=lim_(t->-1)-log(1-t)=-log(2)$
l'ultima cosa che vogliamo vedere è se
$lim_(t->-1)lim_(n->+infty)sum_(k=1)^(n)t^k/k=lim_(n->+infty)lim_(t->-1)sum_(k=1)^(n)t^k/k$
ma sicuramente $lim_(t->-1)sum_(k=1)^(n)t^k/k=sum_(k=1)^(n)(-1)^k/k,forallngeq1$
inoltre la serie di funzioni converge uniformemente in $(-1,1)$ perciò possiamo scambiare il limite e ottenere
$sum_(k=1)^(+infty)(-1)^k/k=-log(2)$
Ti ringrazio per la risposta.
Purtroppo non conosco ancora le serie di funzioni (dovrebbero essere un argomento di analisi 2 se non erro) ma conserverò questo tuo prezioso intervento per l'anno prossimo
Specifico maglio per chi volesse aiutarmi: gli strumenti che posso usare sono tutto ciò che rientra nel programma di analisi 1, quindi serie e polinomi di Taylor (a quanto pare serve solo questo!)
Purtroppo non conosco ancora le serie di funzioni (dovrebbero essere un argomento di analisi 2 se non erro) ma conserverò questo tuo prezioso intervento per l'anno prossimo
Specifico maglio per chi volesse aiutarmi: gli strumenti che posso usare sono tutto ciò che rientra nel programma di analisi 1, quindi serie e polinomi di Taylor (a quanto pare serve solo questo!)
Mi dispiace uppare il messaggio, ma non so a chi altro rivolgermi (nonostante abbia avuto una risposta completa ma che puntualizzo non rientrare negli strumenti che posso usare)
Credo che il punto sia questo: il valore $c$ in cui si calcola il resto nella forma di Lagrange dipende dall'ordine $n$ a cui tronchi la formula di Taylor, cioè $c=c_n$; quindi passare al limite il resto di Lagrange non è immediato... Tuttavia, la stima del resto della serie a segni alterni che viene fuori dal criterio di Leibniz ti salva il calcolo.
Grazie per la risposta @gugo82
Quindi in questa dimostrazione il ragionamento è questo: parto dalla serie di Taylor del logaritmo centrato nell'origine con resto di Lagrange $=>$ faccio vedere che questo è minore del resto che una serie a segni alterni deve avere (perché altrimenti dici che è più complesso) $=>$ conclusione
Corretto?
Ma se mi trovassi a dover provare che -con gli strumenti che ho
$sum_{k=0}^(+\infty) \frac{1}{k!}=e$
Non avendo un resto "noto" per tale serie, come dovrei fare? Dovrei per forza lavorare con quello di Lagrange?
Quindi in questa dimostrazione il ragionamento è questo: parto dalla serie di Taylor del logaritmo centrato nell'origine con resto di Lagrange $=>$ faccio vedere che questo è minore del resto che una serie a segni alterni deve avere (perché altrimenti dici che è più complesso) $=>$ conclusione
Corretto?
Ma se mi trovassi a dover provare che -con gli strumenti che ho
$sum_{k=0}^(+\infty) \frac{1}{k!}=e$
Non avendo un resto "noto" per tale serie, come dovrei fare? Dovrei per forza lavorare con quello di Lagrange?
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