Dimostrazione sulle caratterizzazioni di limitatezza
Buongiorno,
ho un dubbio su una dimostrazione riguardo le caratterizzazioni di limitatezza.
"Sia E un insieme non vuoto in uno spazio metrico (X,d). Allora sono equivalenti:
1) E è limitato;
2) E è contenuto in Ur(x) per qualche x $ epsilon $ X , r > 0
3) per ogni x0 $ epsilon $ X, E è contenuto in Ur(x0) per qualche r>0"
Ora si richiede la dimostrazione rigorosa dei suddetti punti ma sinceramente non ho ben capito come fare...
Avevo pensato che per il punto 2, si poteva scegliere un x $ epsilon $ E qualsiasi, allora per ogni y $ epsilon $ E si ha d(x,y) $ <= $ diamE $ <= $ diamE+1 così da avere E incluso in B
Mentre per il punto 3 pensavo che se ale il punto 2, allora E incluso nell'intorno circolare Br(x) si dimostra che Br(x) è contenuto in Br(x0) per qualche y>0
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
ho un dubbio su una dimostrazione riguardo le caratterizzazioni di limitatezza.
"Sia E un insieme non vuoto in uno spazio metrico (X,d). Allora sono equivalenti:
1) E è limitato;
2) E è contenuto in Ur(x) per qualche x $ epsilon $ X , r > 0
3) per ogni x0 $ epsilon $ X, E è contenuto in Ur(x0) per qualche r>0"
Ora si richiede la dimostrazione rigorosa dei suddetti punti ma sinceramente non ho ben capito come fare...
Avevo pensato che per il punto 2, si poteva scegliere un x $ epsilon $ E qualsiasi, allora per ogni y $ epsilon $ E si ha d(x,y) $ <= $ diamE $ <= $ diamE+1 così da avere E incluso in B
Mentre per il punto 3 pensavo che se ale il punto 2, allora E incluso nell'intorno circolare Br(x) si dimostra che Br(x) è contenuto in Br(x0) per qualche y>0
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Risposte
Beh, anzitutto devi avere una definizione di limitatezza, ad esempio prenderei "E è limitato se $text(sup)_{x,y in E} {d(x,y)}<+infty$ "
A questo punto dimostri le implicazioni:
$(1) => (2)$
se chiamo $D = text(sup) {d(x,y)}$, allora prendo un $x in X$ a caso, in particolare prendo $x in E$ dato che posso scegliere, e sicuramente E sarà contenuto in una bolla di centro x e raggio $D+epsilon$, con $epsilon >0 $ ovviamente.
$(2) => (3)$
Ora devo prendere un generico $x in X$ come centro della bolla, quindi devo avere un raggio sufficientemente grade da comprendere l'intero insieme E. Io direi che, se chiamo $m=d(x,E)$ (la definizione di questa distanza punto-insieme è nello stesso link di prima), mi basta avere come raggio $r= m + D + epsilon$, ma non ne sono sicuro, è solo un'idea. Comunque la strada è questa.
$(3)=>(1)$ eh vabbè, qui si fa subito. La distanza tra due punti di E è sicuramente minore del raggio delle bolle che lo contengono, e tale raggio è finito, quindi E sarà limitato secondo la definizione di prima.
A questo punto dimostri le implicazioni:
$(1) => (2)$
se chiamo $D = text(sup) {d(x,y)}$, allora prendo un $x in X$ a caso, in particolare prendo $x in E$ dato che posso scegliere, e sicuramente E sarà contenuto in una bolla di centro x e raggio $D+epsilon$, con $epsilon >0 $ ovviamente.
$(2) => (3)$
Ora devo prendere un generico $x in X$ come centro della bolla, quindi devo avere un raggio sufficientemente grade da comprendere l'intero insieme E. Io direi che, se chiamo $m=d(x,E)$ (la definizione di questa distanza punto-insieme è nello stesso link di prima), mi basta avere come raggio $r= m + D + epsilon$, ma non ne sono sicuro, è solo un'idea. Comunque la strada è questa.
$(3)=>(1)$ eh vabbè, qui si fa subito. La distanza tra due punti di E è sicuramente minore del raggio delle bolle che lo contengono, e tale raggio è finito, quindi E sarà limitato secondo la definizione di prima.
Grazie mille per la tua risposta! Mi hai chiarito le idee... Per il punto 2 mi piace l'idea della distanza punto-insieme... non la conoscevo sinceramente!
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