Dimostrazione sulla norma (operatori)

[ludwigZero]

(Esercizio)
sia A un operatore lineare continuo invertibile nello spazio di Banach V.
Dim. che:
$||A^-1|| >= ||A||^-1$

per l'invertibilità vale:
$AA^-1 = A^-1 A = 1$
dove con 1 intendo l'unità

essendo:
$||A A^-1 ||<= ||A|| ||A^-1|| = 1$

$ ||A^-1|| = ||A||^-1$ (e l'uguaglianza sarebbe provata)

ora per la limitatezza:
$||A \phi|| < c ||\phi||$ con $c >0$ $AA \phi \in D(T)$

se io moltiplicassi per $||A^-1 \phi'||$:
$||A \phi|| ||A^-1 \phi'||< c ||\phi|| c' ||\phi'||$

posto:
$c c' = d>0$ e $||\phi||=1$ , $||\phi'||=1$ (conservano le norme)

$||A \phi|| ||A^-1 \phi'|| in particolare
$||A \phi|| ||A^-1 \phi'|| < ||A|| ||\phi|| ||A^-1|| ||\phi'|| < d $

e dunque anche:
$||A|| ||\phi|| ||A^-1|| ||\phi'|| < d$

$||A|| ||A^-1|| < d$

$||A^-1|| < d*||A||^-1$

provando così che il 'maggiore' non mi viene

ritengo di sicuro che si possa fare in due righe, ma non sono un eccellente dimostratore x'D
qualche consiglio?

[ludwigZero]

up

[gugo82]

Se \(A\in \mathcal{L}(V,W)\) è invertibile, hai \(A^{-1}\in \mathcal{L}(W,V)\) ed anche:
\[
1=\| I_V\|_{\mathcal{L}(V,V)} = \| A^{-1}\ A\|_{\mathcal{L}(V,V)} \leq \| A^{-1}\|_{\mathcal{L}(W,V)}\ \| A\|_{\mathcal{L}(V,W)}\; ,
\]
da cui trai immediatamente:
\[
\| A^{-1}\|_{\mathcal{L}(W,V)}\geq \| A\|_{\mathcal{L}(V,W)}^{-1}\; .
\]

P.S.: Nota che l'essere \(A\) invertibile implica \(\| A\|_{\mathcal{L}(V,W)} >0\).