Dimostrazione sulla Continuità Uniforme
Salve,
chiedevo la dimostrazione di una doppia implicazione:
"Una funzione è uniformemente continua se e solo se ammette un modulo di continuità."
Qualche idea?
Grazie
chiedevo la dimostrazione di una doppia implicazione:
"Una funzione è uniformemente continua se e solo se ammette un modulo di continuità."
Qualche idea?
Grazie
Risposte
L'uniforme continuità è un concetto che interviene in alcuni teoremi per i quali la sola continuità non basta, ecco perché la necessità di introdurre una nuova definizione.
Una funzione $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ è continua in $I$ se e solo se per definizione:
Fissato $x\in I$ si ha che per ogni $\varepsilon>0$ esiste $\delta_{\varepsilon, x}$, dipendente da $x$ e da $\varepsilon$, tale che:
$|f(x)-f(y)|<\varepsilon$
quando $y\in I$ soddisfa la relazione
$|x-y|<\delta_{x,\varepsilon}$
Nella definizione di uniforme continuità il delta dipende esclusivamente da $epsilon$.
La differenza sta nel fatto che nella continuità il delta che trovi dipende anche dalla scelta di $x$ mentre nella seconda trovi un delta che va bene per ogni $x$ (da qui il termine uniforme, perchè il delta è uniforme rispetto ala scelta di $x$).
La condizione di uniforme continuità è più forte della definizione della definizione di funzione continua, nel senso che se una funzione è uniformemente continua in un intervallo allora è continua nell'intervallo. Non vale il viceversa. Questa distinzione è necessaria perché vi sono teoremi che richiedono qualcosa in più della continuità.
Una funzione $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ è continua in $I$ se e solo se per definizione:
Fissato $x\in I$ si ha che per ogni $\varepsilon>0$ esiste $\delta_{\varepsilon, x}$, dipendente da $x$ e da $\varepsilon$, tale che:
$|f(x)-f(y)|<\varepsilon$
quando $y\in I$ soddisfa la relazione
$|x-y|<\delta_{x,\varepsilon}$
Nella definizione di uniforme continuità il delta dipende esclusivamente da $epsilon$.
La differenza sta nel fatto che nella continuità il delta che trovi dipende anche dalla scelta di $x$ mentre nella seconda trovi un delta che va bene per ogni $x$ (da qui il termine uniforme, perchè il delta è uniforme rispetto ala scelta di $x$).
La condizione di uniforme continuità è più forte della definizione della definizione di funzione continua, nel senso che se una funzione è uniformemente continua in un intervallo allora è continua nell'intervallo. Non vale il viceversa. Questa distinzione è necessaria perché vi sono teoremi che richiedono qualcosa in più della continuità.
Una implicazione è evidente (modulo di continuità implica unif. cont.).
Per l'altra, supponendo che \(f:I\to\mathbb{R}\) sia una funzione uniformemente continua, prova a ragionare sulla funzione \(\omega: [0,+\infty) \to [0,+\infty)\) definita da \(\omega(0) = 0\) e
\[
\omega(r) :=
\sup\{ |f(x) - f(y)|:\ x,y\in I,\ |x-y| \leq r\},
\qquad r >0.
\]
(Devi dimostrare che questa funzione è continua in \(0\).)
Per l'altra, supponendo che \(f:I\to\mathbb{R}\) sia una funzione uniformemente continua, prova a ragionare sulla funzione \(\omega: [0,+\infty) \to [0,+\infty)\) definita da \(\omega(0) = 0\) e
\[
\omega(r) :=
\sup\{ |f(x) - f(y)|:\ x,y\in I,\ |x-y| \leq r\},
\qquad r >0.
\]
(Devi dimostrare che questa funzione è continua in \(0\).)
@Luca97: giusto per curiosità: sai di cosa stai parlando?
"Delirium":
@Luca97: giusto per curiosità: sai di cosa stai parlando?
Si Delirium, anche se ho la triennale in EA.
[ot]Adesso vado a vedere Federer[/ot]
[ot]Cos'è una "triennale in EA"? Electronic Arts?[/ot]
"Delirium":
[ot]Cos'è una "triennale in EA"? Electronic Arts?[/ot]
[ot]Economia aziendale
. EA Games produce videogiochi.Tu cosa studi? Se vuoi continuiamo il discorso in mp. Le tue curiosità ed i nostri discorsi potrebbero non interessare e disturbare gli altri forumisti 
.[/ot]
[ot]Bavvè, tanto qui lo sanno tutti che io sono uno spacciatore di okapi imbalsamati... e che scodinzolo[/ot]
"Delirium":
[ot]Bavvè, tanto qui lo sanno tutti che io sono uno spacciatore di okapi imbalsamati... e che scodinzolo[/ot]
[ot]??[/ot]
Edit. Modifico OT in quanto avuto assicurazioni da Rigel .
[xdom="Rigel"]Chiedo cortesemente a Delirium e Luca97 di chiudere qui con gli OT, grazie.[/xdom]
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