Dimostrazione sulla continuità
Buonasera!
Ho un piccolo problemino: dovrei dimostrare che data una funzione $f(x): X in RR \to RR$ in cui $X$ è intervallo $f(X) $intervallo, e la$ f(x) $monotona devo dimostrare che la funzione è continua agli estremi! allora credo che la strada più semplice sia qualla di supporre per assurdo che la funzione abbia discontinuità di seconda specie in uno degli estremi e poi arrivare ad una contraddizione ma il mio problema è che non so come arrivarci alla contraddizione..
Ho un piccolo problemino: dovrei dimostrare che data una funzione $f(x): X in RR \to RR$ in cui $X$ è intervallo $f(X) $intervallo, e la$ f(x) $monotona devo dimostrare che la funzione è continua agli estremi! allora credo che la strada più semplice sia qualla di supporre per assurdo che la funzione abbia discontinuità di seconda specie in uno degli estremi e poi arrivare ad una contraddizione ma il mio problema è che non so come arrivarci alla contraddizione..
Risposte
Forse puoi usare il teorema del limite delle funzioni monotone...
usando il limite delle funzioni monotone otterò che (supponiamo che la funzione sia definita in $(a,b)$) $lim_(x \to a^+ ) f(x) = - infty $ ..perchò comunque non riesco ancora a capire come arrivare alla contraddizione con questa ipotesi (per assurdo)
ma quale è questo teorema del limite delle funzioni monotone?
"nadia89":
Buonasera!
Ho un piccolo problemino: dovrei dimostrare che data una funzione $f(x): X in RR \to RR$ in cui $X$ è intervallo $f(X) $intervallo, e la$ f(x) $monotona devo dimostrare che la funzione è continua agli estremi! allora credo che la strada più semplice sia qualla di supporre per assurdo che la funzione abbia discontinuità di seconda specie in uno degli estremi e poi arrivare ad una contraddizione ma il mio problema è che non so come arrivarci alla contraddizione..
$X$, quindi il dominio, è un intervallo limitato, dico bene?
Sia $f : [a,b] ( = I sub RR ) -> RR$ una funzione p.es. monotona non-decrescente.
Anzitutto, per il teorema del limite delle funzioni monotone, abbiamo:
$lim_(x -> b^-) f(x) = "sup" { f(x) : x in I , x < b }$
Cerchiamo di capire come è fatto questo insieme di cui vogliamo il superiore.
L'insieme $E = { f(x) : x in I , x < b }$ è l'insieme $f( [a,b[ )$, che per ipotesi è un intervallo. Quindi $E = { f(x): f(a) <= f(x) < f(b) }$. L'estremo superiore di $E$ è evidentemente $f(b)$. Quindi:
$lim_(x -> b^-) f(x) = "sup" { f(x) : x in I , x < b } = f(b)$
Donde la tesi.
Credo si possa ragionare così... Cosa vi sembra?
Anzitutto, per il teorema del limite delle funzioni monotone, abbiamo:
$lim_(x -> b^-) f(x) = "sup" { f(x) : x in I , x < b }$
Cerchiamo di capire come è fatto questo insieme di cui vogliamo il superiore.
L'insieme $E = { f(x) : x in I , x < b }$ è l'insieme $f( [a,b[ )$, che per ipotesi è un intervallo. Quindi $E = { f(x): f(a) <= f(x) < f(b) }$. L'estremo superiore di $E$ è evidentemente $f(b)$. Quindi:
$lim_(x -> b^-) f(x) = "sup" { f(x) : x in I , x < b } = f(b)$
Donde la tesi.
Credo si possa ragionare così... Cosa vi sembra?
si ma questo vale se l'intervallo che consideri è chiuso, ma se è aperto il valore $f(b)$ non è sicuro che sia reale..
"nadia89":
si ma questo vale se l'intervallo che consideri è chiuso, ma se è aperto il valore $f(b)$ non è sicuro che sia reale..
Attenzione. Tu stai considerando una funzione che ha come dominio un intervallo. Se il dominio è un intervallo aperto, negli estremi di questo intervallo la funzione non è definita: quindi non è continua.
Altrimenti il teorema è falso. Considera la funzione $f(x) = 1/x$ nell'intervallo $] -1, 0[$. La funzione soddisferebbe tutte le ipotesi: monotona crescente, definita su un intervallo (aperto) e la cui immagine è un intervallo ( ovvero $]-1, +oo [$ ); tuttavia non è continua nel punto $0$.
Cosa ne pensi?
credo di aver capito quello che vuoi dire.. tu mi vuoi dire che se voglio supporre per assurdo che la funzione non è continua in un punto ovviamnete il punto deve appartenere nell'intervallo e quindi se voglio considerare il caso in cui la funzione è discontinua agli estremi devo considerare intervallo chiuso sennò la mia supposizione non ha senso.. (dimmi se ho capito bene)
"nadia89":
credo di aver capito quello che vuoi dire.. tu mi vuoi dire che se voglio supporre per assurdo che la funzione non è continua in un punto ovviamnete il punto deve appartenere nell'intervallo e quindi se voglio considerare il caso in cui la funzione è discontinua agli estremi devo considerare intervallo chiuso sennò la mia supposizione non ha senso.. (dimmi se ho capito bene)
Dico semplicemente che una funzione non può essere continua in un punto in cui non è definita. Quindi, secondo me, tra le ipotesi andrebbe detto che $X$ è un intervallo chiuso. Sei d'accordo?
si hai ragione!comunque tornando a quello che dici tu abbiamo dimostrato che quindi limite converge ( perchè il valore $f(b)$ è reale eprchè la funzione è definita a variabili reali) dico bene?
"nadia89":
si hai ragione!comunque tornando a quello che dici tu abbiamo dimostrato che quindi limite converge ( perchè il valore $f(b)$ è reale eprchè la funzione è definita a variabili reali) dico bene?
Eh sì... Esattamente.
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