Dimostrazione sui numeri naturali

[gennarosdc]

Dovrei dimostrare questa proposizione:
\(\displaystyle Ogni \ n \in N\ composto\ ha\ almeno\ un\ divisore\ \geq \sqrt{n} \)
essa direi che è vera per assurdo perchè ipotizzando un n con soli divisori < \(\displaystyle \sqrt{n} \) non sarà più possibile ottenere n...
va bene come ragionamento o sbaglio qualcosa ? dovrei dimostrarla in maniera più rigorosa?

[gio73]

vediamo, non so però se questo sia sistema possa soddisfarti

se $n$ è composto significa che si può scomporre in due fattori, i quali possono essere uguali o diversi, esaminiamo i due casi

1. fattori uguali: quindi $n=a*a$ evidentemente $a$ è divisore di $n$ ma è anche la radice di $n$ perché $n=a*a=a^2$
La proposizione risulta vera perché $a=sqrtn$ e si chiedeva un divisore $<=sqrtn$

2. fattori diversi: quindi $n=c*d$ evidentemente se sono diversi uno è maggiore e l'altro minore poniamo $c>d$, il loro prodotto deve essere uguale ad $n$, proviamo a immaginare $n$ come l'area di un rettangolo, se i lati sono uguali allora sei nel caso precedente $a*a$ se sono diversi è necessario, affinché rettangolo sia equivalente al quadrato, che il lato maggiore $c>a$ e quello minore $d
Edit: perché hai postato in analisi?

[gennarosdc]

"gio73":vediamo, non so però se questo sia sistema possa soddisfarti

se $n$ è composto significa che si può scomporre in due fattori, i quali possono essere uguali o diversi, esaminiamo i due casi

1. fattori uguali: quindi $n=a*a$ evidentemente $a$ è divisore di $n$ ma è anche la radice di $n$ perché $n=a*a=a^2$
La proposizione risulta vera perché $a=sqrtn$ e si chiedeva un divisore $<=sqrtn$

2. fattori diversi: quindi $n=c*d$ evidentemente se sono diversi uno è maggiore e l'altro minore poniamo $c>d$, il loro prodotto deve essere uguale ad $n$, proviamo a immaginare $n$ come l'area di un rettangolo, se i lati sono uguali allora sei nel caso precedente $a*a$ se sono diversi è necessario, affinché rettangolo sia equivalente al quadrato, che il lato maggiore $c>a$ e quello minore $d
Edit: perché hai postato in analisi?

tutto chiaro grazie
invece ritornando al mio ragionamento non andava bene dimostrarlo per assurdo?
Ps
Sembra strano ma è un esercizio d'esame del mio corso di analisi 1

[Zero87]

"gennarosdc":invece ritornando al mio ragionamento non andava bene dimostrarlo per assurdo?

E' un esempio piuttosto tipico e anch'io l'ho visto all'università ma in elementi di algebra, non in analisi I.

Come dice gio73 - che saluto (dopo tanto tempo ) - se $n$ non è primo, allora $n=ab$ con $2 Il caso del quadrato è esattamente come dice gio73, ma nel caso in cui non sia un quadrato, si può supporre $a $n=b\cdot a < b\cdot b < \sqrt(n) \cdot \sqrt(n)=n$
un tantinello assurdo...

[gennarosdc]

quindi va bene anche così .. grazie ancora