Dimostrazione sui limiti

[lattosio]

Ciao a tutti mi è sorta la domanda se sia valida questa cosa:

In sostanza dati i punti
1) $∀ε_1>0∃δ_1>0:∀x∈B(0<|x−x0|<δ_1⇒|g(x)−l|<ε_1)$

2) $∀ε_2>0∃δ_2>0:∀yin A(0<|y−l|<δ_2⇒|f(x)−l'|<ε_2)$

vorrei dimostrare:

3) $∀ε_3>0∃δ_3>0:∀g(x)∈A(0<|g(x)−l|<δ_3⇒|f(g(x))−l'|<ε_3)$

(la domanda mi è sorta con il thm della composizione dei limiti ma non ha a che fare con quello dato che voglio dimostrare 3) che è distinto dal teorema)

Sono partito dicendo
$∀ε_3=epsilon_2>0$ esiste sicuramente $epsilon_1$ numero positivo tale che dalla 1) $∃δ_1>0:∀x∈B(0<|x−x0|<δ_1⇒|g(x)−l|<ε_1)$.
Fissando quindi $ε_1=delta_2$ che come detto sopra esiste tale $epsilon_1$ e quindi esiste tale $delta_2$ allora dalla 2) si nota che assunto $g(x)=y$ e valendo $forall y in A$ che $(0<|y−l|<δ_2⇒|f(x)−l'|<ε_2)$ si ha con tale sostituzione $(0<|g(x)−l|<δ_3=delta_2⇒|f(g(x))−l'|<ε_3)$ (quello che volgio dire è che la 2 vale per ogni y quindi vale per il mio g(x)=y)

Se tutto giusto:
Mettendo tutto assieme quindi $∀ε_3=epsilon_2>0∃δ_3=delta_2>0:(0<|g(x)−l|<δ_3⇒|f(g(x))−l'|0∃δ_3>0:forallg(x)(0<|g(x)−l|<δ_3⇒|f(g(x))−l'|
mentre io nei passaggi sopra ho solamente detto che $∀x∈B(0<|x−x0|<δ_1⇒|g(x)−l|<ε_1)$ per ogni x ho che g(x) rispetta $|g(x)−l|<ε_1$, ora questo particolare g(x) se lo pongo uguale a y, allora dato che vale per ogni y la 2) allora ho che vale per il g(x) particolare che: $(0<|g(x)−l|<δ_3⇒|f(g(x))−l'|<ε_3)$. Però a me sembra di stare usando un particoalre g(x) e non un qualunque g(x) perché è quello che mi esce dalla 1); e dico: in virtù del valere la 2) per ogni y vale anche per g(x)=y.
Ma a questo punto nella ricomposizione ho che $∀ε_3=epsilon_2>0∃δ_3>0:(0<|g(x)−l|<δ_3⇒|f(g(x))−l'| Grazie

Tra l'altro mi è poi sorta una ulteriore domanda, anzi due:
- $∀ε_3=epsilon_2>0$ esiste sicuramente $epsilon_1$ numero positivo: forse scrivere questo non è del tutto corretto ?

- per dimostrare 3 forse nn basterebbe prenderela 2) e dire pongo g(x)=y e il gioco è fatto, senza tutto quel casino che ho fatto. però mi chiedo il mio ragionamento (di cui sopra) mi pare corretto, quindi cosa dimostra.

[gugo82]

Non mi pare ci sia nulla da dimostrare.
La 3 è una particolarizzazione di 2, che si ottiene prendendo $y=g(x)$.

[lattosio]

Effettivamente è vero, ci ho pensato dopo che ho chiuso il forum, basta porre y=g(x) e l'ho scritto come ps in ultima riga del primo post.

però credo di avere un bel dubbio ossia... ma nel mio ragionamento cosa sbaglio? Vorrei chiedertelo per capire perché non riesco a trovare errori cioè non capisco bene dove vado a parare perché mi sembrano tutte consecutio valide e non capisco cosa sia sbagliato. Vorrei quindi capirlo per non fregamri più da solo:

Commento quindi quello che scrivevo:

$∀ε_3=epsilon_2>0$ esiste sicuramente $epsilon_1$ numero positivo

questo mi par vero perché in effetti dato un positivo epsilon2 trovo sempre un positivo epsilon 1

tale che dalla 1) $∃δ_1>0:∀x∈B(0<|x−x0|<δ_1⇒|g(x)−l|<ε_1)$.

vero dalla 1

Fissando quindi $ε_1=delta_2$ che come detto sopra esiste tale $epsilon_1$ e quindi esiste tale $delta_2$ allora dalla 2) si nota che assunto $g(x)=y$ e valendo $forall y in A$ che $(0<|y−l|<δ_2⇒|f(x)−l'|<ε_2)$ si ha con tale sostituzione $(0<|g(x)−l|<δ_3=delta_2⇒|f(g(x))−l'|<ε_3)$
[...]
Mettendo tutto assieme quindi $∀ε_3=epsilon_2>0∃δ_3=delta_2>0:(0<|g(x)−l|<δ_3=delta_2⇒|f(g(x))−l'|

ti ringrazio tanto

[lattosio]

Volevo provare a riproporre la domanda sui miei passaggi sopra:

"ma nel mio ragionamento cosa sbaglio? Vorrei chiedertelo per capire perché non riesco a trovare errori cioè non capisco bene dove vado a parare perché mi sembrano tutte consecutio valide e non capisco cosa sia sbagliato. Vorrei quindi capirlo per non fregamri più da solo"

grazie!