Dimostrazione successioni positive
Buona sera. Ho un esercizio che ovviamente non riesco a risolvere. Ecco la traccia: Siano An e Bn due successioni positive e non descrescenti. Dimostrare che An+Bn e An*Bn sono anch'esse successioni non descrescenti. E' ancora vera la conclusione se si rimuove l'ipotesi di positività?
Allora io so che An è minore o uguale di An+1 e idem per Bn. Oltre a questo non so che altro dire, non mi viene in mente niente. Anche se ho capito il concetto( almeno penso di averlo capito) non so applicarlo. Soprattutto per le dimostrazione e questo mi demoralizza.
Allora io so che An è minore o uguale di An+1 e idem per Bn. Oltre a questo non so che altro dire, non mi viene in mente niente. Anche se ho capito il concetto( almeno penso di averlo capito) non so applicarlo. Soprattutto per le dimostrazione e questo mi demoralizza.
Risposte
Probabilmente non hai capito come funziona una dimostrazione.
L'ipotesi (le informazioni da cui parti per fare i tuoi ragionamenti) è che:
\[a_n\le a_{n+1},\quad b_n\le b_{n+1}\qquad \forall n\in\mathbb{N} \tag{Hp}\]
Le due tesi (ciò che vorresti dimostrare) sono che, posto
\[c_n:=a_n+b_n,\quad d_n:=a_nb_n\qquad \forall n\in\mathbb{N} \]
si ha:
\[c_n\le c_{n+1}\qquad \forall n\in \mathbb{N}\tag{Th1}\]
e
\[d_n\le d_{n+1}\qquad \forall n\in \mathbb{N}\tag{Th2}\]
Vediamo la prima. Fissato un $n$ qualsiasi, si ha:
\[c_n=a_n+b_n\stackrel{(\text{Hp})}{\le}a_{n+1}+b_{n+1}=c_{n+1}\]
Quindi è vera la tesi $("Th1")$, cioè è vero che la somma di successioni non decrescenti è anch'essa non decrescente.
Prova tu con il prodotto. La traccia ti dice di aggiungere inizialmente tra le ipotesi $("Hp")$ la seguente:
\[a_n\ge 0,\quad b_n\ge 0\qquad \forall n\in\mathbb{N}\]
e successivamente di riprovare a dimostrare la tesi facendo a meno di questa ipotesi.
L'ipotesi (le informazioni da cui parti per fare i tuoi ragionamenti) è che:
\[a_n\le a_{n+1},\quad b_n\le b_{n+1}\qquad \forall n\in\mathbb{N} \tag{Hp}\]
Le due tesi (ciò che vorresti dimostrare) sono che, posto
\[c_n:=a_n+b_n,\quad d_n:=a_nb_n\qquad \forall n\in\mathbb{N} \]
si ha:
\[c_n\le c_{n+1}\qquad \forall n\in \mathbb{N}\tag{Th1}\]
e
\[d_n\le d_{n+1}\qquad \forall n\in \mathbb{N}\tag{Th2}\]
Vediamo la prima. Fissato un $n$ qualsiasi, si ha:
\[c_n=a_n+b_n\stackrel{(\text{Hp})}{\le}a_{n+1}+b_{n+1}=c_{n+1}\]
Quindi è vera la tesi $("Th1")$, cioè è vero che la somma di successioni non decrescenti è anch'essa non decrescente.
Prova tu con il prodotto. La traccia ti dice di aggiungere inizialmente tra le ipotesi $("Hp")$ la seguente:
\[a_n\ge 0,\quad b_n\ge 0\qquad \forall n\in\mathbb{N}\]
e successivamente di riprovare a dimostrare la tesi facendo a meno di questa ipotesi.
Grazie. Appena posso cerco di risolverlo e ti faccio sapere. Anche se ho già un brutto presentimento...
"Plepp":
Probabilmente non hai capito come funziona una dimostrazione.
Lo penso pure io ma non riesco a ragionare in questo modo
Ma non funziona nella stessa maniera del primo? Solo che stavolta al posto di An+Bn metto An per Bn?
Non proprio...
Se $x,y,z,t\in\RR$, allora è vero che
\[x \le y,\ z\le t\implies x+z\le y+t \]
motivo per cui puoi fare questo passaggio qui:
Invece, in genere non è vero che
\[x\le y\implies xz\le yz\]
E' vero in un certo caso...quando?
Dopo questa riflessione ti sarà chiara la differenza tra il caso della somma e il caso del prodotto.
Se $x,y,z,t\in\RR$, allora è vero che
\[x \le y,\ z\le t\implies x+z\le y+t \]
motivo per cui puoi fare questo passaggio qui:
"Plepp":
\[c_n=a_n+b_n\stackrel{(\text{Hp})}{\le}a_{n+1}+b_{n+1}=c_{n+1}\]
Invece, in genere non è vero che
\[x\le y\implies xz\le yz\]
E' vero in un certo caso...quando?
Dopo questa riflessione ti sarà chiara la differenza tra il caso della somma e il caso del prodotto.
In pratica z deve essere maggiore di zero?
Non riesco a mettere insieme i pezzi del 'puzzle'. Penso che non ce la faró mai a dare unesame decente
Non riesco a mettere insieme i pezzi del 'puzzle'. Penso che non ce la faró mai a dare unesame decente
Sì, se $z\ge 0$ allora è vero che: se $x\le y$, allora $xz\le yz$.
Oh dai, non piagnucolare...
(scherzo eh)
Ma cosa c'è da mettere insieme? Hai finito! In base a quanto detto, se le successioni sono non decrescenti e sono anche $\ge 0$, allora il loro prodotto è anch'esso una successione non decrescente.
Cercherò di essere ancora più esplicito, fino alla nausea:
Oh dai, non piagnucolare...
(scherzo eh) Ma cosa c'è da mettere insieme? Hai finito! In base a quanto detto, se le successioni sono non decrescenti e sono anche $\ge 0$, allora il loro prodotto è anch'esso una successione non decrescente.
Cercherò di essere ancora più esplicito, fino alla nausea:
[*:jfppxcez]sappiamo che $a_n\le a_{n+1}$ e $b_n\le b_{n+1} $, qualsiasi sia $n$ (prima ipotesi);[/*:m:jfppxcez]
[*:jfppxcez]inoltre supponiamo che $a_n,b_n\ge 0$ per ogni $n$ (seconda ipotesi);[/*:m:jfppxcez]
[*:jfppxcez]partendo da queste ipotesi, vogliamo dimostrare che (tesi)
\[a_nb_n\le a_{n+1}b_{n+1}\qquad \color{red}{\forall n}\]
Si tratterebbe di dimostrare infinite disuguaglianze, cioè
\[a_1b_1\le a_2b_2,\qquad a_2b_2\le a_3b_3,\qquad\text{ecc...}\][/*:m:jfppxcez]
[*:jfppxcez]Visto che non disponiamo di tutta l'eternità per fare una dimostrazione, anziché dimostrare una ad una tutte queste disuguaglianze, fissiamo un generico valore di $n$, chiamiamolo $n_0$, e dimostriamo che
\[a_{n_0}b_{n_0}\le a_{n_0+1}b_{n_0+1}\]
Fatto questo, la dimostrazione sarà conclusa, visto che $n_0$ era un generico valore della variabile $n$.[/*:m:jfppxcez]
[*:jfppxcez]E andiamo: dall'ipotesi 1 segue (scegliendo $n=n_0$) che $a_{n_0}\le a_{n_0+1}$ e $b_{n_0}\le b_{n_0+1}$; dall'ipotesi 2 segue (scegliendo $n=n_0$) che $a_{n_0}\ge 0$ e (scegliendo $n=n_0+1$) che $b_{n_0}+1\ge 0$. Tenendo conto di ciò, abbiamo che:
\[a_{n_0}b_{n_0}\stackrel{\text{poiche'}\ a_{n_0}\ge 0\ \text{e}\ b_{n_0}\le b_{n_0+1} }{\le}a_{n_0}b_{n_0+1}\stackrel{\text{poiche'}\ b_{n_0+1}\ge 0\ \text{e}\ a_{n_0}\le a_{n_0+1} }{\le}a_{n_0+1}b_{n_0+1}\][/*:m:jfppxcez]
[*:jfppxcez]FINE[/*:m:jfppxcez][/list:u:jfppxcez]
Più chiaro di così non so essere
Se non facciamo l'ipotesi 2, chiaramente non possiamo ripetere la stessa dimostrazione. In effetti, se non si fa l'ipotesi 2, la tesi è falsa, nel senso che non è vera per qualsiasi coppia di successioni non decrescenti $(a_n)_n$ e $(b_n)_n$. Per dimostrare quest'ultima affermazione basta fare un controesempio, cioè un esempio di due successioni non decrescenti il cui prodotto non è a sua volta una successione non decrescente. Ci provi tu?
Innanzitutto grazie per la tua immensa pazienza. Ma tu intendi qualcosa tipo An= -(1/n)=Bn. In questo modo il loro prodotto è descrescente mentre le singole successioni sono crescenti. Giusto?
"handuup":
Innanzitutto grazie per la tua immensa pazienza. Ma tu intendi qualcosa tipo An= -(1/n)=Bn. In questo modo il loro prodotto è descrescente mentre le singole successioni sono crescenti. Giusto?
Sì va benissimo!
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