Dimostrazione successione

[Mate23]

Buongiorno, avrei bisogno di dimostrare la seguente disequazione:
$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{3n+1}>1$

Con metodo di induzione o utilizzando :
media aritmetica>=media geometrica>=media armonica
Grazie mille

[Seneca1]

Tuoi tentativi?

[Mate23]

Io ho provato per induzione... Per n=1 è verificata. Ho supposto che Xn sia vera se e solo se Xn+1 è vera... Ho quindi sostituito n+1 e ho provato a moltiplicare e dividere entrambi i membri ma non riesco mai ad arrivare fino in fondo e concludere la dimostrazione.

[otta96]

Prova a dimostrare per induzione che la successione è crescente.

[Mate23]

Credo non sia crescente perché abbiamo l'incognita nel denominatore... quindi X1 sarà sempre più piccola grande di X2 e così via... Quindi secondo me è decrescente
Ditemi se sbaglio

[otta96]

Sbagli.

[Mate23]

A ok... Riesci a spiegarmi come fare?
Grazie mille

[otta96]

Te l'ho già dato un suggerimento, seguilo e se ti blocchi ne riparliamo.

[thecrazy1]

per n=1 si vede che vale facendo un calcolo, poi basta mostrare che 1/n+1 è < di (1/3n+2)+(1/3n+3)+1/(3n+4), questo dovresti saperlo dimostare tu, è abbastanza facile.

[Mate23]

Non riesco a dimostrare nemmeno quello... mi blocco sempre nei calcoli e non riesco ad arrivare in fondo alla dimostrazione

[thecrazy1]

1/(n+1)=1/(3n+3)+1/(3n+3)+1/(3n+3) quindi ti basta far vedere che 2/(3n+3)<1/(3n+2)+1/(3n+4). Quindi ti basta mostrare che in generale 2/n<1/(n-1)+1/(n+1).

[gugo82]

[xdom="gugo82"]@thecrazy: Ed a te basta racchiudere le formule tra due $ (cfr. [regolamento]Regolamento[/regolamento], 3.7).[/xdom]