Dimostrazione su un integrale

[fu^2]

oggi è la giornata che non mi viene un tubo !!!

son alle prese con un'ugualianza da dimostarre ma mi incarto, un suggerimento di come muovermi sarebbe carino

dimostrare che $int_a^bf(x)dx=lim_(nto+oo)(b-a)/nsum_(k=0)^(n-1)f(a+(b-a)/nk)

capisco che quella di destra è la condizione che l'integrale è il limite per n che va all'infinito delle somme di rettangolini infinitesimi, però formalmente non saprei dove partire bene...

suggerimenti?

[Domè891]

potresti iniziare con la scomposizione su $[a,b]$
oppure con la somma superiore e quella inferiore....

[gugo82]

"fu^2":oggi è la giornata che non mi viene un tubo !!!

son alle prese con un'ugualianza da dimostarre ma mi incarto, un suggerimento di come muovermi sarebbe carino

dimostrare che $int_a^bf(x)dx=lim_(nto+oo)(b-a)/nsum_(k=0)^(n-1)f(a+(b-a)/nk)

capisco che quella di destra è la condizione che l'integrale è il limite per n che va all'infinito delle somme di rettangolini infinitesimi, però formalmente non saprei dove partire bene...

suggerimenti?

Ho paura che così come hai scritto l'enunciato, la tua proposizione possa essere in generale falsa per funzioni limitate ed integrabili secondo Riemann (perchè tali funzioni possono essere parecchio discontinue in $[a,b]$).

Tuttavia la relazione di limite che hai scritto è certamente valida per le funzioni continue: segue dalla definizione stessa di integrale e dal teorema che riporto appresso:

Siano $a La funzione $f$ è integrabile in $[a,b]$ se e solo se esiste un numero reale $L$ che gode della seguente proprietà:

(*) $quad AA epsilon>0, exists delta>0: quad AA Dsubset [a,b] " con " "amp"(D)
inoltre $L=\int_a^b f(x)" d"x$.

(Per le notazioni:

- $D$ è una decomposizione di $[a,b]$, cioè un insieme di cardinalità finita ${x_0,x_1,\ldots ,x_n}$ con $x_0=a$, $x_n=b$ e $AAk in {1,\ldots, n}, x_(k-1)
- $[x_0,x_1],\ldots, [x_(n-1),x_n]$ sono gli intervalli determinati dalla decomposizione $D$;

- $"amp"(D)$ è l'ampiezza massima degli intervalli determinati da $D$, ossia $"amp"(D)=max{x_1-x_0, x_2-x_1,\ldots, x_n-x_(n-1)}$.)

Nel tuo caso stai prendendo una decomposizione "equispaziata" (cioè tale che $AAk in {1,\ldots ,n}, x_k-x_(k-1)=(b-a)/n$) e stai fissando $AAk in {1,\ldots, n}, lambda_k=x_(k-1)=a+(b-a)/n*(k-1)$ cosicchè la sommatoria che figura in (*) diventa:

$\sum_(k=1)^n f(a+(b-a)/n*(k-1))*(b-a)/n=(b-a)/n*\sum_(k=0)^(n-1) f(a+(b-a)/n*k)$

ed è chiaro che, avendosi $(b-a)/n to 0$, puoi rimpiazzare nella (*) la proposizione $exists delta>0: quad AA Dsubset [a,b] " con " "amp"(D)nu$ (l'ampiezza della decomposizione diminuisce quando aumenta $n$ quindi trovi certamente un $nu$ tale che $"amp"(D)

[fu^2]

infatti ci stavo pensando su e mi è venuto in mente rileggendomi più volte la definizione di integrale sul mio libro la seguente cosa prima che mi rispondessi, quindi posto l'abbozzo di dimostrazione (che poi devo uscire che ho il "guidatore" che bussa alla porta )...

ps mi ero dimenticato di dire funzioni continue..
comunque
sia $S=sum_(k=0)^(n-1)L_k(x_(k+1)-x_k)$ e $s=sum_(k=0)^(n-1)l_k(x_(k+1)-x_k)$
dove $L_k$ e $l_k$ rispettivamente sono il massimo e il minimo della funzione nell'intervallo
$[x_(k+1)-x_k]$
allora possiamo vedere $(b-a)/n=Deltax$ quindi abbiamo che $AA_k=0,...,n-1=>L_k>f(a+Deltaxk)>l_k$ inoltre $(b-a)/n>=(x_(k+1)-x_k)

quindi $lim_(nto+oo)S>=lim_(nto+oo)(Deltax)/nsum_(k=0)^(n-1)f(a+Deltaxk)>=lim_(nto+oo)s

per il teorema del confronto tendono tutti allo stesso limite il quale è anche l'integrale per definizione, segue l'asserto.

domani la sistema... la scrivo almeno nn la perdo
ciao a tutti

[gugo82]

Buona serata fu^2!