Dimostrazione su set completi in spazi $L^2(I)$
Salve, sto cercando di dimostrare una cosa che mi pare ovvia (anche se sulle cose a dimensione infinita c'è da star poco tranquilli!) riguardo a un generico spazio $L^2(I)$.
Se io ho un set completo ma non ortogonale ${e_n}, n=1,2,3...$ e tolgo ad esso i primi k elementi, ovvero ottengo il set ${e_n},n=k+1,k+2...$
ho ancora un set completo?
A me pare che la risposta sia no, ma non riesco a dimostrarlo bene. Se il set fosse ortonormale sarebbe una festa dimostrarlo, basterebbe fare un prodotto scalare con uno dei primi k vettori e vedere che il prodotto scalare è zero, quindi non si ha più la condizione necessaria e sufficiente per la completezza del sistema.
Ma con un set completo e non ortogonale? ad esempio, preso in $L^2(0,1)$, il set ${x^n}$ privato di $x$ e $x^2$ è ancora completo?
Io pensavo di verificare che non lo fosse tramite l'utilizzo di una condizione, e cioè, se il set è completo allora ogni vettore si può esprimere come combinazione dei vettori del set. A questo punto pensavo bastasse verificare quanto valgono i prodotti scalari tra x ed x^n ovvero
$(x,x^n) = int_0^1 x^(n+1)dx = 1/(n+2)$
e poi verificare che non si ottiene
$|| x - sum_(n=3)^infty (x,x^n)*x^n ||->0 $ (convergenza in norma)
solo che purtroppo qui mi blocco, anche perché il set non è ortonormale e quindi non posso usare neanche Bessel...
Qualche hint?
Se io ho un set completo ma non ortogonale ${e_n}, n=1,2,3...$ e tolgo ad esso i primi k elementi, ovvero ottengo il set ${e_n},n=k+1,k+2...$
ho ancora un set completo?
A me pare che la risposta sia no, ma non riesco a dimostrarlo bene. Se il set fosse ortonormale sarebbe una festa dimostrarlo, basterebbe fare un prodotto scalare con uno dei primi k vettori e vedere che il prodotto scalare è zero, quindi non si ha più la condizione necessaria e sufficiente per la completezza del sistema.
Ma con un set completo e non ortogonale? ad esempio, preso in $L^2(0,1)$, il set ${x^n}$ privato di $x$ e $x^2$ è ancora completo?
Io pensavo di verificare che non lo fosse tramite l'utilizzo di una condizione, e cioè, se il set è completo allora ogni vettore si può esprimere come combinazione dei vettori del set. A questo punto pensavo bastasse verificare quanto valgono i prodotti scalari tra x ed x^n ovvero
$(x,x^n) = int_0^1 x^(n+1)dx = 1/(n+2)$
e poi verificare che non si ottiene
$|| x - sum_(n=3)^infty (x,x^n)*x^n ||->0 $ (convergenza in norma)
solo che purtroppo qui mi blocco, anche perché il set non è ortonormale e quindi non posso usare neanche Bessel...
Qualche hint?
Risposte
Con "set completo" cosa intendi?
In breve un set è completo se ogni vettore dello spazio di Hilbert coincide con la sua serie di Fourier rispetto a tale set...
In pratica una base, non so come lo chiami, il mio professore usa chiamarlo set o sistema completo
In pratica una base, non so come lo chiami, il mio professore usa chiamarlo set o sistema completo
E allora è falso. Devi aggiungere qualche ipotesi. Per esempio prendi una qualsiasi base ortonormale ${e_1, e_2, ...}$ di uno spazio di Hilbert separabile (se vuoi andare sul concreto puoi pensare ad $L^2(-pi, pi)$ e $e_n=e^{i n},\ n\inZZ$) e aggiungi un vettore $x$ al set. Ottieni ${x, e_1, e_2, ...}$ che è ancora un sistema completo, secondo la tua definizione, ed è tale che se tu togli $x$ il sistema resta completo.
Penso tu debba aggiungere qualche ipotesi di unicità della serie di Fourier: se ${e_1, e_2, ...}$ è il sistema completo, devi richiedere anche che ogni $x$ si decomponga in un'unica serie di Fourier, ovvero che
$x=\sum\lambda_n e_n=\sum \mu_n e_n => lambda_n=mu_n, \forall n$.
(I sistemi completi con questa proprietà si chiamano basi di Schauder).
Con le basi di Schauder la tua proposizione è vera. Altrimenti no.
SE&O
Penso tu debba aggiungere qualche ipotesi di unicità della serie di Fourier: se ${e_1, e_2, ...}$ è il sistema completo, devi richiedere anche che ogni $x$ si decomponga in un'unica serie di Fourier, ovvero che
$x=\sum\lambda_n e_n=\sum \mu_n e_n => lambda_n=mu_n, \forall n$.
(I sistemi completi con questa proprietà si chiamano basi di Schauder).
Con le basi di Schauder la tua proposizione è vera. Altrimenti no.
SE&O
capisco, ma con queste basi di Schauder come si dimostra?
Se hai una base di Schauder è molto semplice. E' la stessa cosa di quando, in dimensione finita, mostri che togliendo un vettore ad una base non hai più una base.
Prendiamo $V$ uno spazio normato e ${e_1, e_2, ...}$ una base di Schauder. In particolare ogni vettore $x\inV$ si decompone in somma in un unico modo $x=sum_{n=1}^\infty x_n e_n$ e tutti gli $e_n$ sono non nulli.
Consideriamo $e_1$. E' $e_1=1*e_1+0*e_2+0*e_3+...$. Se per assurdo fosse possibile esprimere $e_1$ in termini dei restanti vettori $e_2, e_3, ...$, diciamo $e_1=lambda_2 e_2+lambda_3 e_3+...$, per l'unicità dei coefficienti dovremmo avere $lambda_2=0, lambda_3=0, ...$ e di conseguenza $e_1=0$, contraddizione.
Prendiamo $V$ uno spazio normato e ${e_1, e_2, ...}$ una base di Schauder. In particolare ogni vettore $x\inV$ si decompone in somma in un unico modo $x=sum_{n=1}^\infty x_n e_n$ e tutti gli $e_n$ sono non nulli.
Consideriamo $e_1$. E' $e_1=1*e_1+0*e_2+0*e_3+...$. Se per assurdo fosse possibile esprimere $e_1$ in termini dei restanti vettori $e_2, e_3, ...$, diciamo $e_1=lambda_2 e_2+lambda_3 e_3+...$, per l'unicità dei coefficienti dovremmo avere $lambda_2=0, lambda_3=0, ...$ e di conseguenza $e_1=0$, contraddizione.
Ok così torna. Però a questo punto vorrei sapere una cosa, il set di Weistrass è di Schauder? (il set è $x^n$ con n da 0 a infinito)
Ah guarda non lo so. Ti dirò, non saprei rispondere neanche alla domanda del tuo primo post (${1, x^3, x^4, ...}$ è completo?).
mmh.. eppure non deve essere troppo complicato, era il primo punto di un esercizio del compito... ci deve essere qualche trucchetto... grazie comunque per la disponibilità
"Zkeggia":Io purtroppo ancora non ho trovato la risposta alla tua domanda, purtroppo sono occupato con alcune faccende (molto più noiose!
pensavo bastasse verificare quanto valgono i prodotti scalari tra x ed x^n ovvero
$(x,x^n) = int_0^1 x^(n+1)dx = 1/(n+2)$
e poi verificare che non si ottiene
$|| x - sum_(n=3)^infty (x,x^n)*x^n ||->0 $ (convergenza in norma)
). Però quello che hai scritto qui potrebbe contenere un errore concettuale che secondo me è utile chiarire: quei prodotti scalari che hai calcolato non significano nulla. Infatti, se in uno spazio di Hilbert hai un sistema ortonormale completo ${e_1, e_2, ...}$, ogni vettore $x$ si decompone in un unico modo nella somma
$x=\sum_{n=1}^\infty (x, e_n)e_n$.
Se hai un sistema completo ma non ortonormale, ancora puoi fare una decomposizione del genere, ma non è detto che i coefficienti siano dei semplici prodotti scalari. Per esempio, restiamo nell'ambito $L^2$ con il sistema completo ${1, x, x^2, ...}$ e consideriamo il polinomio $p(x)=1+x$. Una sua decomposizione (ripeto: non lo so se è unica, questo è il discorso sulle basi di Schauder che si faceva prima) è $p(x)=1*1+1*x$. Secondo la tua scrittura, i coefficienti dovrebbero essere dati da prodotti scalari, quindi dovrebbe essere
$(p(x), 1)=1$;
$(p(x), x)=1$.
Ma a conti fatti $(p(x), 1)=\int_0^1 (1+x)\ dx=3/2, (p(x), x)=\int_0^1(x+x^2)\ dx=1/2+1/3$. Avresti quindi la contraddizione
$1+x=3/2+5/6x$ in $(0, 1)$ e questo è chiaramente falso.
E' proprio per questo che in genere i sistemi completi (anche di Schauder) ma non ortonormali sono molto più difficili da gestire: perché è vero che si possono fare delle decomposizioni in somma, ma i coefficienti vattelapesca quali sono...
Ora questo che ho scritto forse lo sapevi, ma nel caso ti fossi confuso spero di essere stato utile.
Giusto la cosa funziona solo su basi ortonormali, me ne ero scordato. Credo di averlo risolto il problema, utilizzando il teorema (e questa volta vale sempre) che data una base completa l'unico vettore ortogonale a tutti i vettori della base è il vettore nullo. A questo punto senti che bello. Sia $h$ il vettore ortogonale a tutti i vettori della base di Weiestrass a cui sono stati tolti i primi elementi, per semplicità diciamo che la base sia ${x^n} n>=3$
Imponiamo che per ogni n valga quanto detto sopra
$(g,x^n) = 0 (n>=3)$ utilizzando una proprietà ben nota dei prodotti scalari si ha
$ (x^2g, x^(n-2))=0$
A questo punto ci siamo riconondotti al calcolo dei prodotti scalari con la base $x^n$ classica, e sappiamo che quindi perché sia vero occorre
$x^2g(x)=0$ quasi ovunque. Ma $x^2$ si annulla solo in 0, dunque g(x)...
Torna?
Quindi alla base ${x^n}$ si possono togliere tutti gli esponenti che ci pare, rimarrà sempre completo. Veramente controintuitivo però bello.
Imponiamo che per ogni n valga quanto detto sopra
$(g,x^n) = 0 (n>=3)$ utilizzando una proprietà ben nota dei prodotti scalari si ha
$ (x^2g, x^(n-2))=0$
A questo punto ci siamo riconondotti al calcolo dei prodotti scalari con la base $x^n$ classica, e sappiamo che quindi perché sia vero occorre
$x^2g(x)=0$ quasi ovunque. Ma $x^2$ si annulla solo in 0, dunque g(x)...
Torna?
Quindi alla base ${x^n}$ si possono togliere tutti gli esponenti che ci pare, rimarrà sempre completo. Veramente controintuitivo però bello.
Mi pare giusto. Bello, sì! Buona idea quella di passare $x^2$ dall'altra parte. Questo è un esempio carino di scherzi a cui si può andare incontro considerando sistemi completi ma non ortogonali.
Mi sfugge una cosa!
Qual' è la proprietà per cui $ x^2 $ è passato dall'altra parte??
E' stato considerato come uno scalare?
Qual' è la proprietà per cui $ x^2 $ è passato dall'altra parte??
E' stato considerato come uno scalare?
E' stato considerato come uno scalare?Assolutamente no, altrimenti sarebbe stato un errore. Zkeggia ha applicato la definizione di prodotto scalare in [tex]L^2(I)[/tex]:
[tex]$\forall f, g \in L^2(I),\ \langle f, g \rangle =\int_I f(x) g(x)\,dx[/tex] (qui sto considerando il caso reale, nel caso complesso occorreva coniugare la [tex]g[/tex], ma alla fine il risultato è lo stesso).
P.S.: Benvenuto nel forum!
ah ok! Ora è chiaro!
Grazie della risposta e del benvenuto!
Grazie della risposta e del benvenuto!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo