Dimostrazione su integrale
C'è una domanda che mi pongo e vorrei dimostrare quando e perché vale l'affermazione:
Se ho $\int_a^bf(x)>=\int_a^bg(x)$ per ogni a,b allora $f(x)>=g(x)$
-non capisco quali ipotesi debbano esserci su f e g perché succeda (credo non valga sempre, lo vedo graficamente ma non saprei dirloformalmente)
-non ho la più pallida idea di come dimostrarlo quand'anche abbia le ipotesi corrette su f e g (devo procedere con la definizione di integrale secondo riemann o c'è un modo migliore)?
sono del tutto bloccato
vi ringrazio
Se ho $\int_a^bf(x)>=\int_a^bg(x)$ per ogni a,b allora $f(x)>=g(x)$
-non capisco quali ipotesi debbano esserci su f e g perché succeda (credo non valga sempre, lo vedo graficamente ma non saprei dirloformalmente)
-non ho la più pallida idea di come dimostrarlo quand'anche abbia le ipotesi corrette su f e g (devo procedere con la definizione di integrale secondo riemann o c'è un modo migliore)?
sono del tutto bloccato
vi ringrazio
Risposte
Innanzitutto, ti basta provare che:
$AA x in [a,b],\ f(x) >= 0 <=> AA alpha< beta in [a,b],\ int_alpha^beta f(x) text(d) x >= 0$
(perché?).
Questo in generale non è vero (perché? quale implicazione non vale?), ma se fai un’ipotesi decente su $f$ ce la fai… Quale?
$AA x in [a,b],\ f(x) >= 0 <=> AA alpha< beta in [a,b],\ int_alpha^beta f(x) text(d) x >= 0$
(perché?).
Questo in generale non è vero (perché? quale implicazione non vale?), ma se fai un’ipotesi decente su $f$ ce la fai… Quale?
Purtroppo leggo solo ora la risposta perché non riuscivo ad accedere all'url del forum da giorni.
Spero non sia tardi per ringraziarti molto per la tua risposta e provare ad abbozzare una mia risposta ai tuoi spunti.
Al primo perché risponderei che: $\int_a^bh(x)dx>=\int_a^bg(x)dx=>\int_a^bh(x)-g(x)dx>=0=>\int_a^bf(x)>=0$ ove $f(x)=h(x)-g(x)>=0$
Al secondo risponderei che non vale in generale poiché intuitivamente mi accorgo che f(x) potrebbe essere parte maggiore di zero e parte minore di zero come valori tra a e b e l'integrale essere comunque positivo. A non valere quindi sarebbe l'implicaione <=.
Come potrei risolvere la cosa? Bella domanda
Probabilmente aggiungerei nelle Hp che $f(x)!=0$ per ogni $xin[a,b]$ ?
Il fatto che non saperi come sfruttare tale ipotesi nella dimostrazione, mi sembra di non saper dove mettere mano
OT bonus: posso chiederti come ti sono sorte queste osservazioni. Non lo chiedo per farmi gli affari tuoi, ovviamente, però è come se dopo essermi posto il problema fossi bloccato e mi mancasse un modus operandi. Hai tipo abbozzato un grafico? Lo chiedo perché all'inizio non l'ho fatto e disegnando mi è venuto più facile verificare le tue obiezioni e domande (ovviamente la via grafica solo per avere uno spunto che poi andrebbe formalizzato), però non capisco se sia una via valida o sbagliata.
Insomma l'OT è una richiesta per avere una dritta su come sia meglio muoversi perché mi pare di non avere idee a cui aggrapparmi e mi piacerebbe capire quale sia il processo mentale di uno capace: se la risposta nasca dal nulla spontanea o se ci sia una strada migliore da seguire... so che sembra una domanda stupida ma ti garantisco che mi piacerebbe capire.
Spero non sia tardi per ringraziarti molto per la tua risposta e provare ad abbozzare una mia risposta ai tuoi spunti.
Al primo perché risponderei che: $\int_a^bh(x)dx>=\int_a^bg(x)dx=>\int_a^bh(x)-g(x)dx>=0=>\int_a^bf(x)>=0$ ove $f(x)=h(x)-g(x)>=0$
Al secondo risponderei che non vale in generale poiché intuitivamente mi accorgo che f(x) potrebbe essere parte maggiore di zero e parte minore di zero come valori tra a e b e l'integrale essere comunque positivo. A non valere quindi sarebbe l'implicaione <=.
Come potrei risolvere la cosa? Bella domanda
Probabilmente aggiungerei nelle Hp che $f(x)!=0$ per ogni $xin[a,b]$ ?
Il fatto che non saperi come sfruttare tale ipotesi nella dimostrazione, mi sembra di non saper dove mettere mano
OT bonus: posso chiederti come ti sono sorte queste osservazioni. Non lo chiedo per farmi gli affari tuoi, ovviamente, però è come se dopo essermi posto il problema fossi bloccato e mi mancasse un modus operandi. Hai tipo abbozzato un grafico? Lo chiedo perché all'inizio non l'ho fatto e disegnando mi è venuto più facile verificare le tue obiezioni e domande (ovviamente la via grafica solo per avere uno spunto che poi andrebbe formalizzato), però non capisco se sia una via valida o sbagliata.
Insomma l'OT è una richiesta per avere una dritta su come sia meglio muoversi perché mi pare di non avere idee a cui aggrapparmi e mi piacerebbe capire quale sia il processo mentale di uno capace: se la risposta nasca dal nulla spontanea o se ci sia una strada migliore da seguire... so che sembra una domanda stupida ma ti garantisco che mi piacerebbe capire.
"lozaio":
Purtroppo leggo solo ora la risposta perché non riuscivo ad accedere all'url del forum da giorni.
Beh, non sei il solo.
Il forum è stato chiuso per tre giorni a causa di problemi tecnici.
"lozaio":
Spero non sia tardi per ringraziarti molto per la tua risposta e provare ad abbozzare una mia risposta ai tuoi spunti.
Figurati.
"lozaio":
Al primo perché risponderei che: $\int_a^bh(x)dx>=\int_a^bg(x)dx=>\int_a^bh(x)-g(x)dx>=0=>\int_a^bf(x)>=0$ ove $f(x)=h(x)-g(x)>=0$
Ok, ma questa non è una risposta… Sono solo passaggi in libertà.
L’idea di fondo, tuttavia, è giusta: la proprietà di linearità dell’integrale definito serve per dimostrare l’equivalenza tra la tua e la mia formulazione del problema.
"lozaio":
Al secondo risponderei che non vale in generale poiché intuitivamente mi accorgo che f(x) potrebbe essere parte maggiore di zero e parte minore di zero come valori tra a e b e l'integrale essere comunque positivo. A non valere quindi sarebbe l'implicaione <=.
L’implicazione non valida è esattamente quella.
"lozaio":
OT bonus: posso chiederti come ti sono sorte queste osservazioni. Non lo chiedo per farmi gli affari tuoi, ovviamente, però è come se dopo essermi posto il problema fossi bloccato e mi mancasse un modus operandi. Hai tipo abbozzato un grafico? Lo chiedo perché all'inizio non l'ho fatto e disegnando mi è venuto più facile verificare le tue obiezioni e domande (ovviamente la via grafica solo per avere uno spunto che poi andrebbe formalizzato), però non capisco se sia una via valida o sbagliata.
Insomma l'OT è una richiesta per avere una dritta su come sia meglio muoversi perché mi pare di non avere idee a cui aggrapparmi e mi piacerebbe capire quale sia il processo mentale di uno capace: se la risposta nasca dal nulla spontanea o se ci sia una strada migliore da seguire... so che sembra una domanda stupida ma ti garantisco che mi piacerebbe capire.
Primo suggerimento: fai un disegno. Sempre. Comunque.
In questo caso, se hai un disegno del genere in mente:
[asvg]xmin=-2; xmax=4; ymin=-2; ymax=4;
axes("","");
strokewidth=2; stroke="red";
plot("(x-2)^2-1",0,2);[/asvg]
beh, no, non va bene.
Infatti prendendo $alpha=1, beta=2$ hai $int_alpha^beta f(x) text(d) x < 0$.
Invece, una cosa del genere:
[asvg]xmin=-2; xmax=4; ymin=-2; ymax=4;
axes("","");
strokewidth=2; stroke="red";
line([0,2],[2,2]); dot([0,-1]); dot([1,-1]); dot([2,-1]);[/asvg]
questo sì, va benissimo. Perché?
"lozaio":
Come potrei risolvere la cosa? Bella domanda
Probabilmente aggiungerei nelle Hp che $f(x)!=0$ per ogni $xin[a,b]$ ?
Nu.
Cosa suggerisce l’ultimo disegno?
"lozaio":
Il fatto che non saperi come sfruttare tale ipotesi nella dimostrazione, mi sembra di non saper dove mettere mano
Certo, se metti ipotesi “a c@%%o” è ovvio che non vedi dove vanno usate!
Citando Polya:
In plausible reasoning the principal thing is to distinguish [...] a more reasonable guess from a less reasonable guess.
Ciao gugo 
mille grazie!
Iniziamo da spunti e bacchettate
Era proprio quello che avevo in mente, pensavo scriverlo fosse meglio, bastava dire la proprietà
, grazie per questa correzione!
Mi hai beccato ancora prima lo pensassi, era proprio quello e sono uno stupido perché mi ero volato il per ogni, cioè lo sapevo ma prendevo esempi del "c@%%o" così come le ipotesi conseguenti.
Direi che la funzione ha solo dei punti nelle ordinate negative, e singoli punti hanno "misura"** nulla per l'integrale di Riemann.
Insomma, l'ipotesi furba era dire continua, che mi previene da questi casi patologici.
(**in realtà "misura" è un termine usato a lezione, ma non è stato ben specificato se non sommariamente, forse lo uso in modo un po' improprio però intendo che danno contributo nullo all'integrale, ossia essendo la misura l'intervallino $x_N,x_(n+1)$ abbiamo che il singolo punto cade in $x_i,x_i$ che è un intervallo vuoto e con f(x_i)<0)
Ok ora le HP dovrebbero esserci tutte, i dati anche.. devo capire come sfruttare quella continuità. Ora non mi vengono grandi idee, devo ragionarci un po' su
Dunque l'ipotesi
mille grazie!Iniziamo da spunti e bacchettate
L’idea di fondo, tuttavia, è giusta: la proprietà di linearità dell’integrale definito serve per dimostrare l’equivalenza tra la tua e la mia formulazione del problema.
Era proprio quello che avevo in mente, pensavo scriverlo fosse meglio, bastava dire la proprietà
, grazie per questa correzione!In questo caso, se hai un disegno del genere in mente:
beh, no, non va bene.
Mi hai beccato ancora prima lo pensassi, era proprio quello e sono uno stupido perché mi ero volato il per ogni, cioè lo sapevo ma prendevo esempi del "c@%%o" così come le ipotesi conseguenti.
questo sì, va benissimo. Perché?
Direi che la funzione ha solo dei punti nelle ordinate negative, e singoli punti hanno "misura"** nulla per l'integrale di Riemann.
Insomma, l'ipotesi furba era dire continua, che mi previene da questi casi patologici.
(**in realtà "misura" è un termine usato a lezione, ma non è stato ben specificato se non sommariamente, forse lo uso in modo un po' improprio però intendo che danno contributo nullo all'integrale, ossia essendo la misura l'intervallino $x_N,x_(n+1)$ abbiamo che il singolo punto cade in $x_i,x_i$ che è un intervallo vuoto e con f(x_i)<0)
Ok ora le HP dovrebbero esserci tutte, i dati anche.. devo capire come sfruttare quella continuità. Ora non mi vengono grandi idee, devo ragionarci un po' su
Dunque l'ipotesi
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