Dimostrazione su $f\in C^1(RR)$
Stavo svolgendo questa dimostrazione
Sia $f:RR\to RR$, $f\in C^1(RR)$, $x_0\in RR:f(x_0)=0$ e $f'(x)>f(x)$ $\forall x\ge x_0$
provare che $f(x)>0$ $\forall x> x_0$.
Grazie al fatto che la $f'$ sia continua e per il teorema della permanenza del segno sono riuscito a dimostrare che $f'(x)>0$ in un'intorno destro di $x_0$, e di conseguenza $f$ strett. crescente e dunque $f(x)>0$ in quell'intorno. Tuttavia non so come estendere questo risultato a tutti gli $x>x_0$.
Ho provato a ragionare cercando di dimostrare che $f(x_2)>0$ per $x_2>x_0$, ho provato ad applicare lagrange in $[x_0,x_2]$ per cui ho che esiste $tilde x$ tale che $f'(tilde x)= {f(x_2)-f(x_0)}/{x_2-x_0}$ da cui $f(x_2)=f'(tilde x)(x_2-x_0)$ ma arrivato a questo punto non so che fare.
Sia $f:RR\to RR$, $f\in C^1(RR)$, $x_0\in RR:f(x_0)=0$ e $f'(x)>f(x)$ $\forall x\ge x_0$
provare che $f(x)>0$ $\forall x> x_0$.
Grazie al fatto che la $f'$ sia continua e per il teorema della permanenza del segno sono riuscito a dimostrare che $f'(x)>0$ in un'intorno destro di $x_0$, e di conseguenza $f$ strett. crescente e dunque $f(x)>0$ in quell'intorno. Tuttavia non so come estendere questo risultato a tutti gli $x>x_0$.
Ho provato a ragionare cercando di dimostrare che $f(x_2)>0$ per $x_2>x_0$, ho provato ad applicare lagrange in $[x_0,x_2]$ per cui ho che esiste $tilde x$ tale che $f'(tilde x)= {f(x_2)-f(x_0)}/{x_2-x_0}$ da cui $f(x_2)=f'(tilde x)(x_2-x_0)$ ma arrivato a questo punto non so che fare.
Risposte
Applica Lagrange in una dimostrazione per assurdo su un punto di quell'intorno e un punto in cui la funzione su annulla maggiore di $x_0$.
Ponendo:
è possibile ridursi ad un'equazione differenziale lineare del primo ordine:
$g(x)=f'(x)-f(x) gt 0$
è possibile ridursi ad un'equazione differenziale lineare del primo ordine:
$\{(f'(x)-f(x)=g(x)),(f(x_0)=0):} rarr$
$rarr f(x)=e^(x-x_0)\int_(x_0)^(x)g(t)e^(-t+x_0)dt$
"otta96":
Applica Lagrange in una dimostrazione per assurdo su un punto di quell'intorno e un punto in cui la funzione su annulla maggiore di $x_0$.
Ottengo un punto in cui $f'$ è negativa, dunque anche $f$ è negativa, ma poi come continuo?
"Noodles":
è possibile ridursi ad un'equazione differenziale lineare del primo ordine
Grazie per l'idea ma è roba di analisi 2 che ancora non ho fatto, io sto studiando ancora analisi 1
Scegli opportunamente il punto in cui si annulla su cui applicare Lagrange e concludi.
Hai risolto poi?
Sinceramente non sono più riuscito a fare l'esercizio, poi il giorno dopo ho avuto l'esame quindi non ci ho più pensato. Come si faceva?
Dovevi prendere il minimo degli zeri (dimostrare che era ben definito), applicare Lagrange come avevo detto e ottenevi la derivata negativa, ma dato che avevi scelto il minimo la funzione era sempre stata positiva fino a quel punto, quindi anche la sua derivata, assurdo.
"otta96":
Dovevi prendere il minimo degli zeri (dimostrare che era ben definito), applicare Lagrange come avevo detto e ottenevi la derivata negativa, ma dato che avevi scelto il minimo la funzione era sempre stata positiva fino a quel punto, quindi anche la sua derivata, assurdo.
Ah non avevo pensato a mostrare che fosse un minimo, vabbè. Grazie comunque, alla fine l'esame è andato bene lo stesso!
Bene!
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