Dimostrazione su esistenza e valore di un limite

[SwitchArio]

Sono bloccato in questa dimostrazione:

Sia $f : \RR \rightarrow \RR $ derivabile e tale che $ \lim_{x \to +\infty} f'(x) < 0 $. Provare che esiste
$\lim_{x \to +\infty} f(x) $ e determinarlo. (Max 5 pts.)

Ho dimostrato l’esistenza del limite dicendo che, per il teo. della permanenza del segno,
in un intorno $U$ di $+\infty$ si ha che $f’(x)<0$ d.v. dunque $f(x)$ decrescente d.v. per $x\to\infty$ quindi \(\displaystyle f(x)\to \inf f(x) \) in un intorno di $+\infty$ (quindi esiste il limite).
Ma come faccio a dedurre che l’\(\displaystyle \inf f(x) \) sia finito o illimitato?

[otta96]

Non puoi.

[SwitchArio]

Se c'è scritto "e determinarlo" un modo c'è, è una vecchia prova d'esame

[pilloeffe]

Ciao SwitchArio,

Scusa, potresti cortesemente eliminare l'immagine dell'OP e sostituirla con quanto sto per scriverti? Le immagini sono vietate e non andrebbero mai usate nei post, ma potrei anche arrivare a capirne l'uso se ci fosse molto da scrivere, ma in questo caso per le due righe che hai riportato ci vuole veramente un minuto scarso...

(3) Sia $f : \RR \rightarrow \RR $ derivabile e tale che $ \lim_{x \to +\infty} f'(x) < 0 $. Provare che esiste
$\lim_{x \to +\infty} f(x) $ e determinarlo. (Max 5 pts.)

(3) Sia $f : \RR \rightarrow \RR $ derivabile e tale che $ \lim_{x \to +\infty} f'(x) < 0 $. Provare che esiste 
$\lim_{x \to +\infty} f(x) $ e determinarlo. [b](Max 5 pts.)[/b]

[gugo82]

@SwitchArio: Per permanenza del segno esiste un valore $m < 0$ tale che \(f^\prime (x) \leq m\) per ogni $x$ "abbastanza grande", diciamo per ogni $x>= x_0$ (con $x_0 in RR$); quindi graficamente hai una situazione simile:
[asvg]xmin=0; xmax=6; ymin=-10; ymax=2;
axes("","");
stroke="red"; plot("2-x^2",-2,2);
strokewidth=2; plot("2-x^2",2,7);
stroke="black"; plot("2-2*x",2,7);
dot([2,-2]);
text([2,0], "x0", above); text([0,-2], "f(x0)", right);
text([5,-6], "y=m(x-x0) + f(x0)", above);
text([2,-6], "y=f(x)", belowright);[/asvg]
Formalizziamo: scegli ad arbitrio un $x> x_0$; per il teorema di Lagrange applicato all'intervallo $[x_0, x]$, hai $f(x) - f(x_0) = $... da cui segue $f(x) - f(x_0) < $...; per l'arbitrarietà nella scelta di $x > x_0$ passando al limite trovi...

[SwitchArio]

"pilloeffe":
Scusa, potresti cortesemente eliminare l'immagine dell'OP e sostituirla con quanto sto per scriverti? Le immagini sono vietate e non andrebbero mai usate nei post, ma potrei anche arrivare a capirne l'uso se ci fosse molto da scrivere, ma in questo caso per le due righe che hai riportato ci vuole veramente un minuto scarso...

Si, scusami non lo sapevo. Risolto

@gugo82: cavolo hai ragione, grazie mille!