Dimostrazione stima asintotica integrale di Laplace per part
Integrando per parti un integrale di Laplace $I(x)=int_{a}^{b} f(t) e^(x phi(t))dt$ si ottiene $I(x)=[1/x (f(b))/(phi ' (b)) e^(x phi(b)) - 1/x (f(a))/(phi ' (a)) e^(x phi(a))] - 1/x int_{a}^{b} d/(dt) ((f(t))/(phi ' (t))) e^(x phi(t)) dt$.
Vorrei dimostrare che, se $phi ' (t) != 0$ per $t in [a,b]$ e almeno uno tra $f(a)$ ed $f(b)$ è non nullo, l'integrale a secondo membro è asintoticamente trascurabile rispetto al termine di sinistra, per $x -> +infty$.
Nel libro che uso suggerisce di suddividere l'intervallo d'integrazione in tanti piccoli intervalli e sovrastimare ognuno di questi, ma non riesco a trovare stime che mi aiutino a ottenere il risultato da dimostrare.
Voi come fareste?
Vorrei dimostrare che, se $phi ' (t) != 0$ per $t in [a,b]$ e almeno uno tra $f(a)$ ed $f(b)$ è non nullo, l'integrale a secondo membro è asintoticamente trascurabile rispetto al termine di sinistra, per $x -> +infty$.
Nel libro che uso suggerisce di suddividere l'intervallo d'integrazione in tanti piccoli intervalli e sovrastimare ognuno di questi, ma non riesco a trovare stime che mi aiutino a ottenere il risultato da dimostrare.
Voi come fareste?
Risposte
La prima cosa che viene in mente è:
\[
\exp (x\ \phi (t)) \leq \exp (x\ \sup_{[a,b]} \phi)
\]
sicché l'integrale al secondo membro è in modulo più piccolo di \(C \exp(x\ \sup_{[a,b]}\phi)/x\) con \(C\geq 0\) opportuna.
Quindi se \(\sup_{[a,b]}\phi <0\) sei a posto, ma se \(\sup_{[a,b]} \phi \geq 0\) non si può usare questa maggiorazione.
\[
\exp (x\ \phi (t)) \leq \exp (x\ \sup_{[a,b]} \phi)
\]
sicché l'integrale al secondo membro è in modulo più piccolo di \(C \exp(x\ \sup_{[a,b]}\phi)/x\) con \(C\geq 0\) opportuna.
Quindi se \(\sup_{[a,b]}\phi <0\) sei a posto, ma se \(\sup_{[a,b]} \phi \geq 0\) non si può usare questa maggiorazione.
"gugo82":
sicché l'integrale al secondo membro è in modulo più piccolo di \(C \exp(x\ \sup_{[a,b]}\phi)/x\) con \(C\geq 0\) opportuna.
Questo non mi è chiaro: $d/(dt) (f(t)/(phi ' (t)))$ non potrebbe essere illimitato?
Maggiorando:
\[
\left| \frac{1}{x} \int_a^b \frac{\text{d}}{\text{d} t} \left[ \frac{f(t)}{\phi^\prime (t)}\right]\ \exp (x\phi (t))\ \text{d} t\right| \leq \frac{\exp(x\ \sup_{[a,b]} \phi)}{x} \int_a^b \left| \frac{\text{d}}{\text{d} t} \left[ \frac{f(t)}{\phi^\prime (t)}\right] \right|\ \text{d} t
\]
quindi puoi prendere una costante \(C\) maggiore od uguale all'integrale che figura al secondo membro, se tale integrale è finito.
Probabilmente, se sei in ipotesi buone, tale integrale è senz'altro finito... Ma purtroppo non so in quali ipotesi ti stai muovendo (oltre a quelle che hai citato) né da che libro studi, quindi più di questo non so dirti.
\[
\left| \frac{1}{x} \int_a^b \frac{\text{d}}{\text{d} t} \left[ \frac{f(t)}{\phi^\prime (t)}\right]\ \exp (x\phi (t))\ \text{d} t\right| \leq \frac{\exp(x\ \sup_{[a,b]} \phi)}{x} \int_a^b \left| \frac{\text{d}}{\text{d} t} \left[ \frac{f(t)}{\phi^\prime (t)}\right] \right|\ \text{d} t
\]
quindi puoi prendere una costante \(C\) maggiore od uguale all'integrale che figura al secondo membro, se tale integrale è finito.
Probabilmente, se sei in ipotesi buone, tale integrale è senz'altro finito... Ma purtroppo non so in quali ipotesi ti stai muovendo (oltre a quelle che hai citato) né da che libro studi, quindi più di questo non so dirti.
Ok, adesso ho capito la stima che fai. Forse però è un po' rozza rispetto a quella che mi serve, perchè se (per fare le cose semplici) ipotizzo che $(f(t))/(phi ' (t)) > 0$ $AA t$, $a<=t<= b$ (le ipotesi non me lo impediscono), trovo che:
$(exp(x su p_[a,b] phi))/x int_(a)^(b) |d/(dt) [(f(t))/(phi ' (t))]|dt = (exp(x su p_[a,b] phi))/x [f(b)/(phi ' (b)) - f(a)/(phi ' (a))]$
E questa quantità non mi pare molto minore di $1/x f(b)/(phi ' (b)) exp(x phi(b))- 1/x f(a)/(phi ' (a)) exp(x phi(a))$.
Comunque il libro è Bender Orszag, Advanced Mathematical Method for Scientists and Engineers. Dal titolo si può intuire che non riporta molte dimostrazioni in dettaglio, ad esempio il teorema in questione non lo dimostra. Le ipotesi che ho scritto sono comunque tutte quelle che il testo fornisce.
$(exp(x su p_[a,b] phi))/x int_(a)^(b) |d/(dt) [(f(t))/(phi ' (t))]|dt = (exp(x su p_[a,b] phi))/x [f(b)/(phi ' (b)) - f(a)/(phi ' (a))]$
E questa quantità non mi pare molto minore di $1/x f(b)/(phi ' (b)) exp(x phi(b))- 1/x f(a)/(phi ' (a)) exp(x phi(a))$.
Comunque il libro è Bender Orszag, Advanced Mathematical Method for Scientists and Engineers. Dal titolo si può intuire che non riporta molte dimostrazioni in dettaglio, ad esempio il teorema in questione non lo dimostra. Le ipotesi che ho scritto sono comunque tutte quelle che il testo fornisce.
Mmmm... Vero.
Avevo perso di vista il fatto che c'è un esponenziale anche nel primo addendo di \(I(x)\).
D'altra parte, non mi viene altra idea al momento.
Probabilmente la stima viene da qualche disuguaglianza fatta a posta che non conosco... Proverò a vedere.
Avevo perso di vista il fatto che c'è un esponenziale anche nel primo addendo di \(I(x)\).
D'altra parte, non mi viene altra idea al momento.
Probabilmente la stima viene da qualche disuguaglianza fatta a posta che non conosco... Proverò a vedere.
Credo di avere colto l'idea del suggerimento del libro, ma ora devo riuscire a formalizzare bene.
Se $phi'$ è continua, essendo $phi' != 0$, avrà lo stesso segno nell'intervallo d'integrazione, e quindi $phi$ sarà crescente o decrescente, e assumerà massimo in $a$ o in $b$.
$|int_(c_i)^(c_(i+1)=c_i +Delta) d/(dt) (f(t))/(phi'(t)) e^(x phi (t)) dt| <= |int_(c_i)^(c_(i+1)=c_i +Delta) d/(dt) (f(t))/(phi'(t))| e^(x phi (c)) dt $, dove $c$ è l'estremo in cui $phi$ è maggiore.
Di tutti questi termini, la cui dipendenza da $x$ è solo nell'esponenziale, quello con esponente maggiore (con $c=a$ o $c=b$) è molto più grande degli altri, che possono quindi essere trascurati.
Il fattore a moltiplicare è $|int_(c_i)^(c_(i+1)=c_i +Delta) d/(dt) (f(t))/(phi'(t))|=|(f(c_(i+1)))/(phi'(c_(i+1))) - (f(c_i))/(phi'(c_i))|$, che è molto minore del termine a moltiplicare che compare nei termini di bordo.
Se $phi'$ è continua, essendo $phi' != 0$, avrà lo stesso segno nell'intervallo d'integrazione, e quindi $phi$ sarà crescente o decrescente, e assumerà massimo in $a$ o in $b$.
$|int_(c_i)^(c_(i+1)=c_i +Delta) d/(dt) (f(t))/(phi'(t)) e^(x phi (t)) dt| <= |int_(c_i)^(c_(i+1)=c_i +Delta) d/(dt) (f(t))/(phi'(t))| e^(x phi (c)) dt $, dove $c$ è l'estremo in cui $phi$ è maggiore.
Di tutti questi termini, la cui dipendenza da $x$ è solo nell'esponenziale, quello con esponente maggiore (con $c=a$ o $c=b$) è molto più grande degli altri, che possono quindi essere trascurati.
Il fattore a moltiplicare è $|int_(c_i)^(c_(i+1)=c_i +Delta) d/(dt) (f(t))/(phi'(t))|=|(f(c_(i+1)))/(phi'(c_(i+1))) - (f(c_i))/(phi'(c_i))|$, che è molto minore del termine a moltiplicare che compare nei termini di bordo.
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