Dimostrazione spazio completo

[gokusajan1]

Buongiorno. Ho il seguente esercizio:
-Si consideri lo spazio delle successioni limitate in $E:={x={x_n}_(n=0)^(oo); Sup_k|x_k| a) Si dimostri che E è uno spazio metrico con la distanza :
$d:E x E->RR, d(x,y)=Sup_k|x_k-y_k| dimostrazione: per dimostrare che l'insieme dato risulta completo si deve verificare che rispetti la definizione di completezza per uno spazio (metrico). Quindi sarebbe dapprima conveniente mostrare che la definizione della metrica indotta su $E$ sia ben posta e cioè che rispetti i tre assiomi che definiscono uno spazio metrico:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
DEF) Sia $X$ un insieme e sia $d$ una funzione tale che: $d: X x X ->RR$. Chiameremo tale funzione metrica sull' insieme $E$ qualora per ogni coppia di elementi $x,yinE$ valgono:
1) $d(x,y)>=0$ e $d(x,y)=0 <=> x=y$
2) $d(x,y)=d(y,x)$
3) $d(x,y)<=d(x,z)+d(z,y)$,$zinE$
(ometto i passaggi della verifica dei 3 assiomi ma, ovviamente, daremo per vero che $d(x,y)$ è una metrica)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Quindi non rimane che dimostrare che $E$ sia completo con la metrica fornita.
Poiché abbiamo che $(E,d)$ è spazio metrico possiamo dunque prendere un qualunque suo elemento ${x_k}$ e mostrare che, essendo tali ${x_k}$ limitati, esiste una successione di Cauchy che converge ad $x_k$ e prendendo il suo estremo sup. al variare di $kinNN$ esso è ancora limitato, e quindi elemento di $E$.
Definiamo allora una successione di Cauchy; prendiamo un $x_(k,n)$ di $E$ e diciamo che preso un $epsi>0$ è sempre possibile trovare degli indici $m,n >=N_(epsi)inNN$ tali che $d(x_k^n,x_k^m)n>=N_(epsi)$: $lim_[(n,m)->oo] d(x_k^n,x_k^m)=lim_(n->oo)d(x_k^n,x_k)0$. Ma questo significa che prendendo l'estremo superiore si ha: $Sup_k |x_k^n-x_k|<=|x_n-x|<=epsi'

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Risposte

gokusajan1

7 apr 2017, 08:23

Avrei solo bisogno di una conferma della sua correttezza...

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Antimius

8 apr 2017, 09:25

Intanto, un piccolo commento sulle notazioni: non serve che ti porti indietro il $k$. In genere si indica con $x \in E$ una successione $x=(x_k)_k$ e quindi la distanza fra due elementi la scrivi poi semplicemente $d(x.y)$. Questo per evitare di appesantire la notazione, ma se sei abituato così no problem

"Boomerang":
Definiamo allora una successione di Cauchy; prendiamo un $ x_(k,n) $ di $ E $ e diciamo che, poiché $ E $ è costituito da elementi limitati, preso un $ epsi>0 $ è sempre possibile trovare degli indici $ m,n >=N_(epsi)inNN $ tali che $ d(x_k^n,x_k^m) < \epsilon$

Non ho capito perché specifichi che $E$ è costituito da elementi limitati. Quella che hai scritto è soltanto la definizione di successione di Cauchy.

"Boomerang":ciò vuol dire che ogni successione di Cauchy è convergente; infatti, se$ m>n>=N_(epsi) $: $ lim_[(n,m)->oo] d(x_k^n,x_k^m)=lim_(n->oo)d(x_k^n,x_k)0 $. Ma questo significa che prendendo l'estremo superiore si ha: $ Sup_k |x_k^n-x_k|<=|x_n-x|<=epsi' ed infine, essendo (ogni elemento$ {x_k}subE $) finito, anche l'estremo superiore è finito, come abbiamo d'altronde mostrato. In quanto tale è allora ancora elemento di $ E $ e quindi quest'ultimo risulta completo.

L'idea è corretta ma devi specificare i passaggi che fai. Dobbiamo partire da $d(x^n, x^m) < \epsilon$ per ogni $m,n \geq n_0$ e dimostrare la convergenza. Dalla relazione appena scritta è vero, in particolare che $|x_k^n - x_k^m| < \epsilon$ per ogni $m,n \geq n_0$, per ogni $k$ fissato.
Ma questo vuol dire che le successioni $(x_k^n)_n \in \mathbb{R}$ sono di Cauchy per ogni $k$ fissato. Per la completezza di $\mathbb{R}$, segue che esiste un limite per ognuna di queste successioni (dipendente da $k$):
$$\exists \, x_k := \lim_{n \to \infty} x_k^n$$
A questo punto, il limite candidato per $x^n \in E$ è l'elemento $x$ (che indica $(x_k)_k$ come elemento di $E$).
Adesso osserviamo che $|x_k^n - x_k^m| < \epsilon$ per ogni $m,n \geq n_0$ e per ogni $k$ e $n_0$ è lo stesso per ogni $k$. Passando al limite per $m \to \infty$, abbiamo che $$|x_k^n - x_k| < \epsilon \quad \forall n\geq n_0 \quad \forall k$$
Poiché questa relazione è vera per ogni $k$ e poiché in questa relazione $n_0$ non dipende da $k$ allora è vero che $$\sup_k |x_k^n - x_k| < \epsilon \quad \forall n\geq n_0$$
Da questo segue che:

1) \(\displaystyle \sup_k |x_k| < \infty \) (basta usare la disuguaglianza triangolare e la relazione precedente, ad esempio, per $n = n_0$) e quindi che $x \in E$
2) $d(x^n, x) \to 0$[/list:u:1o3zd7yr]

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gokusajan1

8 apr 2017, 12:24

Grazie Antimius per l'attenzione.

"Antimius":Intanto, un piccolo commento sulle notazioni: non serve che ti porti indietro il $k$. In genere si indica con $x \in E$ una successione $x=(x_k)_k$ e quindi la distanza fra due elementi la scrivi poi semplicemente $d(x.y)$. Questo per evitare di appesantire la notazione, ma se sei abituato così no problem

Probabilmente quello che dici potrebbe aiutarmi a non appesantire le notazioni ma per il momento (finché non riuscirò a destreggiarmi bene con le dimostrazioni) preferisco rimanere coerente con la simbologia della traccia dell'esercizio.

"Boomerang":
Definiamo allora una successione di Cauchy; prendiamo un $ x_(k,n) $ di $ E $ e diciamo che, poiché $ E $ è costituito da elementi limitati, preso un $ epsi>0 $ è sempre possibile trovare degli indici $ m,n >=N_(epsi)inNN $ tali che $ d(x_k^n,x_k^m) < \epsilon$

"Antimius":

Non ho capito perché specifichi che $E$ è costituito da elementi limitati. Quella che hai scritto è soltanto la definizione di successione di Cauchy.

in effetti non era necessario ribadirlo

"Antimius":
L'idea è corretta ma devi specificare i passaggi che fai. Dobbiamo partire da $d(x^n, x^m) < \epsilon$ per ogni $m,n \geq n_0$ e dimostrare la convergenza. Dalla relazione appena scritta è vero, in particolare che $|x_k^n - x_k^m| < \epsilon$ per ogni $m,n \geq n_0$, per ogni $k$ fissato.
Ma questo vuol dire che le successioni $(x_k^n)_n \in \mathbb{R}$ sono di Cauchy per ogni $k$ fissato. Per la completezza di $\mathbb{R}$, segue che esiste un limite per ognuna di queste successioni (dipendente da $k$):
$$\exists \, x_k := \lim_{n \to \infty} x_k^n$$
A questo punto, il limite candidato per $x^n \in E$ è l'elemento $x$ (che indica $(x_k)_k$ come elemento di $E$).
Adesso osserviamo che $|x_k^n - x_k^m| < \epsilon$ per ogni $m,n \geq n_0$ e per ogni $k$ e $n_0$ è lo stesso per ogni $k$. Passando al limite per $m \to \infty$, abbiamo che $$|x_k^n - x_k| < \epsilon \quad \forall n\geq n_0 \quad \forall k$$
Poiché questa relazione è vera per ogni $k$ e poiché in questa relazione $n_0$ non dipende da $k$ allora è vero che $$\sup_k |x_k^n - x_k| < \epsilon \quad \forall n\geq n_0$$
Da questo segue che:

1) \(\displaystyle \sup_k |x_k| < \infty \) (basta usare la disuguaglianza triangolare e la relazione precedente, ad esempio, per $n = n_0$) e quindi che $x \in E$
2) $d(x^n, x) \to 0$[/list:u:f261toin]

[/quote][/quote]
Da quello che vedo,correggimi se sbaglio, ho dimenticato:
1) di dire che ogni $x_k$ è limite di qualche successione convergente${x_(k,n)}$ dato che $RR$ è completo ed ogni successione di cauchy ammette limite in $R$. (domanda: si può quindi affermare $EsubRR$?)
2) dire esplicitamente che da 1 segue: $EE x_k:=lim_(n->oo)x_k^n$
3)Dire che 2) vale per ogni $kinNN$ e quindi è valido indipendentemente da k

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Antimius

9 apr 2017, 22:56

$x_k$ è il limite di $x_k^n$ per definizione. Per la completezza di $\mathbb{R}$ ognuna di quelle successioni ammette limite dipendente da $k$: questo limite lo chiamo $x_k$.
$E$ è un sottoinsieme dello spazio delle successioni a valori reali, non è un numero reale, quindi quella inclusione non può sussistere.
Per quanto riguarda il limite, la cosa importante è che $n_0$ sia lo stesso per ogni $k$. Questo perché, anche se il limite esiste per ogni $k$, se $n_0$ dipendesse da $k$, non potresti passare al sup perché avresti $\forall n \geq n_0(k)$ e questo non ti permette di concludere niente sul sup.
Spero che sia chiaro

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gokusajan1

10 apr 2017, 08:54

grazie mille Antimius, sei stato chiarissimo...

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Antimius

10 apr 2017, 11:53

FIgurati

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[gokusajan1]

Avrei solo bisogno di una conferma della sua correttezza...

[Antimius]

Intanto, un piccolo commento sulle notazioni: non serve che ti porti indietro il $k$. In genere si indica con $x \in E$ una successione $x=(x_k)_k$ e quindi la distanza fra due elementi la scrivi poi semplicemente $d(x.y)$. Questo per evitare di appesantire la notazione, ma se sei abituato così no problem

"Boomerang":
Definiamo allora una successione di Cauchy; prendiamo un $ x_(k,n) $ di $ E $ e diciamo che, poiché $ E $ è costituito da elementi limitati, preso un $ epsi>0 $ è sempre possibile trovare degli indici $ m,n >=N_(epsi)inNN $ tali che $ d(x_k^n,x_k^m) < \epsilon$

Non ho capito perché specifichi che $E$ è costituito da elementi limitati. Quella che hai scritto è soltanto la definizione di successione di Cauchy.

"Boomerang":ciò vuol dire che ogni successione di Cauchy è convergente; infatti, se$ m>n>=N_(epsi) $: $ lim_[(n,m)->oo] d(x_k^n,x_k^m)=lim_(n->oo)d(x_k^n,x_k)0 $. Ma questo significa che prendendo l'estremo superiore si ha: $ Sup_k |x_k^n-x_k|<=|x_n-x|<=epsi' ed infine, essendo (ogni elemento$ {x_k}subE $) finito, anche l'estremo superiore è finito, come abbiamo d'altronde mostrato. In quanto tale è allora ancora elemento di $ E $ e quindi quest'ultimo risulta completo.

L'idea è corretta ma devi specificare i passaggi che fai. Dobbiamo partire da $d(x^n, x^m) < \epsilon$ per ogni $m,n \geq n_0$ e dimostrare la convergenza. Dalla relazione appena scritta è vero, in particolare che $|x_k^n - x_k^m| < \epsilon$ per ogni $m,n \geq n_0$, per ogni $k$ fissato.
Ma questo vuol dire che le successioni $(x_k^n)_n \in \mathbb{R}$ sono di Cauchy per ogni $k$ fissato. Per la completezza di $\mathbb{R}$, segue che esiste un limite per ognuna di queste successioni (dipendente da $k$):
$$\exists \, x_k := \lim_{n \to \infty} x_k^n$$
A questo punto, il limite candidato per $x^n \in E$ è l'elemento $x$ (che indica $(x_k)_k$ come elemento di $E$).
Adesso osserviamo che $|x_k^n - x_k^m| < \epsilon$ per ogni $m,n \geq n_0$ e per ogni $k$ e $n_0$ è lo stesso per ogni $k$. Passando al limite per $m \to \infty$, abbiamo che $$|x_k^n - x_k| < \epsilon \quad \forall n\geq n_0 \quad \forall k$$
Poiché questa relazione è vera per ogni $k$ e poiché in questa relazione $n_0$ non dipende da $k$ allora è vero che $$\sup_k |x_k^n - x_k| < \epsilon \quad \forall n\geq n_0$$
Da questo segue che:

1) \(\displaystyle \sup_k |x_k| < \infty \) (basta usare la disuguaglianza triangolare e la relazione precedente, ad esempio, per $n = n_0$) e quindi che $x \in E$
2) $d(x^n, x) \to 0$[/list:u:1o3zd7yr]

[gokusajan1]

Grazie Antimius per l'attenzione.

"Antimius":Intanto, un piccolo commento sulle notazioni: non serve che ti porti indietro il $k$. In genere si indica con $x \in E$ una successione $x=(x_k)_k$ e quindi la distanza fra due elementi la scrivi poi semplicemente $d(x.y)$. Questo per evitare di appesantire la notazione, ma se sei abituato così no problem

Probabilmente quello che dici potrebbe aiutarmi a non appesantire le notazioni ma per il momento (finché non riuscirò a destreggiarmi bene con le dimostrazioni) preferisco rimanere coerente con la simbologia della traccia dell'esercizio.

"Boomerang":
Definiamo allora una successione di Cauchy; prendiamo un $ x_(k,n) $ di $ E $ e diciamo che, poiché $ E $ è costituito da elementi limitati, preso un $ epsi>0 $ è sempre possibile trovare degli indici $ m,n >=N_(epsi)inNN $ tali che $ d(x_k^n,x_k^m) < \epsilon$

"Antimius":

Non ho capito perché specifichi che $E$ è costituito da elementi limitati. Quella che hai scritto è soltanto la definizione di successione di Cauchy.

in effetti non era necessario ribadirlo

"Antimius":
L'idea è corretta ma devi specificare i passaggi che fai. Dobbiamo partire da $d(x^n, x^m) < \epsilon$ per ogni $m,n \geq n_0$ e dimostrare la convergenza. Dalla relazione appena scritta è vero, in particolare che $|x_k^n - x_k^m| < \epsilon$ per ogni $m,n \geq n_0$, per ogni $k$ fissato.
Ma questo vuol dire che le successioni $(x_k^n)_n \in \mathbb{R}$ sono di Cauchy per ogni $k$ fissato. Per la completezza di $\mathbb{R}$, segue che esiste un limite per ognuna di queste successioni (dipendente da $k$):
$$\exists \, x_k := \lim_{n \to \infty} x_k^n$$
A questo punto, il limite candidato per $x^n \in E$ è l'elemento $x$ (che indica $(x_k)_k$ come elemento di $E$).
Adesso osserviamo che $|x_k^n - x_k^m| < \epsilon$ per ogni $m,n \geq n_0$ e per ogni $k$ e $n_0$ è lo stesso per ogni $k$. Passando al limite per $m \to \infty$, abbiamo che $$|x_k^n - x_k| < \epsilon \quad \forall n\geq n_0 \quad \forall k$$
Poiché questa relazione è vera per ogni $k$ e poiché in questa relazione $n_0$ non dipende da $k$ allora è vero che $$\sup_k |x_k^n - x_k| < \epsilon \quad \forall n\geq n_0$$
Da questo segue che:

1) \(\displaystyle \sup_k |x_k| < \infty \) (basta usare la disuguaglianza triangolare e la relazione precedente, ad esempio, per $n = n_0$) e quindi che $x \in E$
2) $d(x^n, x) \to 0$[/list:u:f261toin]

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Da quello che vedo,correggimi se sbaglio, ho dimenticato:
1) di dire che ogni $x_k$ è limite di qualche successione convergente${x_(k,n)}$ dato che $RR$ è completo ed ogni successione di cauchy ammette limite in $R$. (domanda: si può quindi affermare $EsubRR$?)
2) dire esplicitamente che da 1 segue: $EE x_k:=lim_(n->oo)x_k^n$
3)Dire che 2) vale per ogni $kinNN$ e quindi è valido indipendentemente da k

[Antimius]

$x_k$ è il limite di $x_k^n$ per definizione. Per la completezza di $\mathbb{R}$ ognuna di quelle successioni ammette limite dipendente da $k$: questo limite lo chiamo $x_k$.
$E$ è un sottoinsieme dello spazio delle successioni a valori reali, non è un numero reale, quindi quella inclusione non può sussistere.
Per quanto riguarda il limite, la cosa importante è che $n_0$ sia lo stesso per ogni $k$. Questo perché, anche se il limite esiste per ogni $k$, se $n_0$ dipendesse da $k$, non potresti passare al sup perché avresti $\forall n \geq n_0(k)$ e questo non ti permette di concludere niente sul sup.
Spero che sia chiaro

[gokusajan1]

grazie mille Antimius, sei stato chiarissimo...

[Antimius]

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