Dimostrazione sotto-successione convergente

[Gianluca911]

Salve ragazzi, scusatemi se torno a disturbarvi.
Oggi mi è capitato sotto mano questo esercizio:

Sia $ a_n $ una successione di numeri reali e sia $ bin R $ . Dimostrare che, se in ogni intorno di $ b $ cadono infiniti termini della successione $ a_n $, allora $ a_n $ ammette una sottosuccessione convergente a $ b $.


Ora, intuitivamente diciamo che ci sono, ma non riesco a capire come esprimere il tutto.
Grazie mille per il vostro aiuto.

[ostrogoto1]

Considera un sistema di intorni centrati in b $ U(b) $ di raggio $ 1/k $ dove $ k\inNN $. Allora in ognuno di essi per ipotesi cadono infiniti punti della successione $ a_n $. Tra questi ne scelgo uno $ (a_n)_k $. Allora per definizione di limite questa sottosuccessione e' convergente a b: preso K con $ 1/epsilon

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[Gianluca911]

"ostrogoto":Considera un sistema di intorni centrati in b $ U(b) $ di raggio $ 1/k $ dove $ k\inNN $. Allora in ognuno di essi per ipotesi cadono infiniti punti della successione $ a_n $. Tra questi ne scelgo uno $ (a_n)_k $. Allora per definizione di limite questa sottosuccessione e' convergente a b: preso K con $ 1/epsilon

Grazie mille!